9° MATEMÁTICAS

Por geometría sabemos que dos puntos determinan una recta y que dos o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.

Puntos Colineales:

Dos o más puntos son colineales si existe una sola recta que los contenga.

A una recta se le puede hacer corresponder una ecuación, si conocemos dos puntos y su pendiente.

Por un punto P₁(x₁,y₁) pasa solamente una recta l con pendiente m. para encontrar la ecuación de la recta l supongammos que P (x,y) es cualquier punto con x ≠ x₁, entonces por definición de pendiente tenemos:

\(\bf\LARGE\frac{y-y_1}{x-x_1}= m\), de donde;

La ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es:

\(\bf\LARGE y-y_1=m( x-x_1)\)

Ejemplo:

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,5) y B (-2,2).

Primero debemos encontrar el valor de la pendiente

La pendiente de la recta está determinada por: \(m=\frac{2-5}{-2-1}=\frac{-3}{-3}=1\)

Ahora en la ecuación punto-pendiente podemos sustituir las coordenadas del punto A o del punto B para determinar la ecuación de la recta:

\(y-2=1( x-(-2))\) asumimos que P₁ (x₁, y₁) es B (-2, 2) y que m = 1

\(y-2=x+2\) Simplificamos paréntesis.

\(y-4-x=0\) Igualamos a cero la ecuación

\(y-x-4=0\) Ordenamos

Otra manera de expresar la ecuación de la recta es \(y=x+4\)

Sabemos que geometricamente dos o más rectas pueden ser secantes o paralelas, esta clasificación se relaciona con las propiedades de las respectivas pendientes.

Rectas Paralelas: dos rectas son geométricamente paralelas, los ángulos respecto al eje x tienen la misma medida.

Dos rectas cualesquiera \(l_1\, y\, l_2\) son paralela si y sólo si tienen la misma pendiente.

Rectas Secantes: Si dos rectas no son paralelas, se denominan secantes y se cortan en un solo punto.

Dos rectas secantes son perpendiculares si al cortarse forman un ángulo recto.

Dos rectas cualesquiera l₁ y l₂ son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo:

analicemos el producto de las pendientes de las rectas \(2x - y = 3\) y \(-{\frac{1}{2}} x - y = 7\)

Es conveniente primero despejar a y en cada recta

Consideremos la pendiente de cada recta

\(m_1=2\) y \(m_2=-\frac{1}{2}\)

Hallemos el producto: \(m_1*m_2=2(\frac{-1}{2})=-1\). Las dos rectas son perpendiculares porque el producto de sus pendientes es igual a \(-1\).

PREGUNTA: ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares?