Los ceros de la función cuadrática
Para encontrar el punto de intersección de la parábola con ecuación \(y=x^2-6x+5\) con el eje \(x\) hacemos \(y=0\), y luego reemplazamos en la ecuación: \(0=x^2-6x+5\). Después factorizamos el trinomio: \(0=(x-5)(x-1)\); es decir: \(x-5=0\) o \(x-1=0\); solucionando cada ecuación tenemos: \(x_1=5\) o \(x_2=1\), que son las raíces de la ecuación cuadrática \(x^2-6x+5=0\).
Observemos que en la gráfica anterior, las parejas de puntos donde la función \(y=x^2+6x+5\) corta el eje \(x\) son \((1,\, 0)\) y \((5,\, 0)\), es decir la ordenada de cada pareja es igual a cero.
Entonces:
Los ceros de una función \(f( x)=ax^2+bx+c\) son las intersecciones de la función con el eje \(x\).
Las raíces de una ecuación representan gráficamente la intersección de la gráfica con el eje \(x\).
Ejemplo
Encontrar el vértice y los ceros de la ecuación \(y=3x^2-5x-2\)
Como a = 3 y 3 > 0, la parábola es cóncava hacia arriba.
Para encontrar el vértice debemos completar el trinomio cuadrado perfecto.
\(y=3x^2-5x-2\)
Ecuación original
\(y+2=3x^2-5x\)
Adicionamos el número 2 a ambos lados.
\(y+2=3(x^2-\frac{5}{3}x)\)
Factorizamos el número 3
\(y+2+3(\frac{5}{6})^2=3 [x^2-\frac{5}{3}x+(\frac{5}{6})^2]\)
Adicionamos a ambos lados de la igualdad 3 por el cuadrado de \(\frac{5}{6}\)
\(y+2+3*\frac{25}{36}=3(x-\frac{5}{6})^2\)
Factorizamos el trinomio cuadrado.
\(y+2+\frac{25}{12}=3(x-\frac{5}{6})^2\)
Simplificamos
\(y+\frac{49}{12}=3(x-\frac{5}{6})^2\)
Resolvemos las operaciones
\(V(\frac{5}{6},\, -\frac{49}{12})\); escribimos el Vértice.
Los ceros racionales son los puntos de corte de la gráfica con el eje X y se obtienen al reemplazar a Y por cero y despejar a X en la ecuación.
\(3x^2-5x-2=0\)
Factorizamos como un trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\).
\(\frac{3x^2-5(3x)-6}{3}=0\)
\((3x-6)(3x+1)=0\)
De esta ecuación factorizada tenemos:
\(3x-6=0\) ö \(3x+1=0\)
Luego \(x_1=2\) o \(x_2=-\frac{1}{3}\).
Así quedan determinadas las raíces de la ecuación y podemos asegurar que la gráfica corta al eje X en \((2,\, 0)\) y \((-\frac{1}{3},\, 0)\).
El dominio de una parábola es el conjunto de los números reales, si no se hacen restricciones al dominio. La ordenada del vértice de una parábola determina el recorrido de la función.
Tracemos la gráfica de la función \(f( x)=3x^2-5x-2\) y determinemos dominio y recorrido.
El dominio de la función \(f( x)=3x^2-5x-2\) es el conjunto de los números reales, porque x puede tomar cualquier valor real.
El recorrido de \(f=\{y|y\geq -\frac{49}{12}\}\), porque el mínimo valor que toma y es \(-\frac{49}{12}\), es decir la ordenada del vértice.
La gráfica de la función f es:
PREGUNTA: ¿el dominio es?