12 Lección: La función logarítmica

Intento: 3

Ha obtenido 0 punto(s) sobre 0 hasta ahora.

Sabemos que si a es un número positivo distinto de de \(1\) y \(x\) es cualquier número positivo dado, existe un número real único y tal que: \(x=a^y\).

Decimos que el número \(y\) es el logaritmo de \(x\) de base \(a\) y lo escribimos \(y=log_ax\).

La función logarítmica \(log_a\) es la inversa de la función exponencial de base \(a\).

2.42

La figura nos muestra la gráfica de la función exponencial \(f(x)=a^x\) y de su respectiva función inversa \(f^{-1}x=log_ax\).

Es muy importante recordar que \(y=log_bx;\, x=b^y\) definen la misma función, por tanto, podemos utilizarlas indistintamente.

El dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos y su rango, el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo:

Convirtamos de la forma exponencial a la forma logarítmica equivalente:

a) \(64=4^3\) Es equivalente a \(log_464=3\)


b) \(2=\sqrt[3]{8}\)

 Es equivalente a \(log_82=\frac{1}{3}\) Porque \(\sqrt[3]{8}\) se expresa como \(8^{\frac{1}{3}}\)
c) \(\frac{1}{16}=4^{-2}\) Es equivalente a \(log_4\frac{1}{16}=-2\) Tomando a \(4^{-2}\) como \(\frac{1}{4^2}\)
d) \(3=\sqrt{9}\) Es equivalente a \(log_93=\frac{1}{2}\) Escribiendo a \(\sqrt{9}\) como \(9^{\frac{1}{2}}\)

Ejemplo 2:

Tracemos la gráfica de la función \(y=log_{\frac{1}{2}}x\)

Sabemos que \(y=log_{\frac{1}{2}}x\) es equivalente a la forma exponencial \(x=(\frac{1}{2})^y\). Para este ejemplo construiremos la tabla, dando valores a la variable independiente y.

y

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

8

4

2

1

0,5

0,25

0,125

si \(y=-3\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^{-3}\)

\(x=(\frac{2}{1})^3=8\)

si \(y=-2\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^{-2}\)

\(x=(\frac{2}{1})^2=4\)

si \(y=-1\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^{-1}\)

\(x=(\frac{2}{1})^3\)

si \(y=0\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^0=1\)

si \(y=1\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}\)

si \(y=2\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)

si \(y=3\)

Entonces \(x=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}\)

log

Otra manera de construir la tabla de valores, para la función \(y=log_{\frac{1}{2}}x\), es darle a valores a \(x\) y utilizar después la calculadora científica para encontrar el respectivo resultado de \(4y\). Como las calculadoras sólo traen dos posibilidades para calcular logaritmos: log (logaritmo en base 10) y ln (logaritmo natural), se debe trasformar la base \(\frac{1}{2}\) a base 10 o a base e; para hacerlo utilizamos la propiedad de los logaritmos que dice

\(log_ab=\frac{log_k b}{log_k a}\); o sea

\(log_{\frac{1}{2}}x=\frac{logx}{log\frac{1}{2}\)

Así los valores para la variable independiente se calculan con

\(y=\frac{logx}{log\frac{1}{2}\).

Para encontrar una explicación de las propiedades copie el link siguiente: https://www.slideshare.net/mfatela/logaritmo-definicin-y-propiedades-presentation

PREGUNTA: \(3^4=81\) es equivalente a: