9° MATEMÁTICAS

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Supongamos que en un experimento para controlar y estudiar el crecimiento de las bacterias, se inicia con una cantidad de 300. El investigador anota los datos en la siguiente tabla:

Esta tabla nos permite hacer las siguientes consideraciones.

Hora en que empieza la observación…………………………….300 = 2⁰ (300) bacterias

Una hora después de comenzar el experimento………..……2(300) = 2¹(300) bacterias

Segunda hora después de comenzar el experimento………4(300) = 2² (300) bacterias

Tercera hora después de comenzar el experimento………8(300) = 2³(300) bacterias

T horas después…………………………… 2(2t-1(300)) = 2^t(300) bacterias.

Luego, t horas después el número p de bacterias presentes está dado por la ecuación: \(p=2^t*300\), es decir generalizando:

El número de bacterias en un tiempo t está dado por: p = 2^t * b₀, donde t es un número real y b₀ es el número inicial de bacterias.

Ejemplo 1: Estimemos el número de bacterias que tendría el investigador para un valor intermedio de tiempo t = 0.25s.

Debemos reemplazar el valor del tiempo en la ecuación \(p=2^t*b_0\). El valor de b₀ sigue siendo 300:

P =2^0.25 * 300

P = 1.189 * 300

P = 356,76

Luego el número de bacterias es \(356,76\) para \(t = 0.25s\).

Generalizando, las ecuaciones de la forma \(y=300*2^x\); son modelos matemáticos satisfactorios para describir fenómenos de crecimiento, en períodos limitados de tiempo.

Observemos que el rango de \(y=300*2^x\) es el conjunto de los números reales positivos y que la gráfica nunca interfecta al eje \(x\), aunque se aproxime demasiado.

Para hacer la gráfica le damos valores a \(x\) y vamos caculando el valor de \(y\), para ubicar los puntos en el plano cartesiano.

La gráfica de y = 300 * 2⁰ = 300 * 1 = 300

Este valor representa el número de bacterias con que se inicia el experimento.

Observemos que también la ecuación y = 300 * 2^x define una función, donde la variable independiente x está en el exponente. Esta función se llama función exponencial modela crecimientos exponenciales.

Lo anterior nos sugiere la siguiente definición:

Una función f definida por la ecuación f(x) = ab^x, con a ≠ 0, b > 0 y b ≠ 1, es una función exponencial.

En la ecuación y = a * b^x, b es el factor de crecimiento.

El dominio de \(f(x)=ab^x\) es el conjunto de todos los números reales; el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

Ejemplo: tracemos la gráfica de la función exponencial \(y=2^{-x}=(\frac{1}{2})^x\)

Si x = 0, entonces \(y=(\frac{1}{2})^0=1\)

Si x = 1, entonces \(y=(\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}\)

Si x = -1, entonces \(y=(\frac{1}{2})^{-1}=(\frac{2}{1})^1=2\)

Si x = -2, entonces \(y=(\frac{1}{2})^{-2}=(\frac{2}{1})^2=4\).

Si x = 2, entonces \(y=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\).

Si x = 3, entonces \(y=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}\).

Construir la tabla

De los anteriores ejemplos podemos concluir:

• Si b > 1, entonces y = ab^x es creciente.
• Si b < 1, Entonces y = ab^x es decreciente,
• Si b = 1, Entonces y = 1 es una función constante.

el número \(\bf e\) surge de la investigación de mjuchos fenómenos físicos. La función definida por \(f(e)\) se denomina función exponencial natural.

Alginas calculadoras tienen una tecla tecla \(\bf e^x\)para aproximar valores de la función exponencial natural.

En radioterapia las funciones exponenciales de base \(\bf e\)desempeñan un papel importante en el tratamiento de tumores cancerosos por medio de la radiación. Lo que le interesa conocer a un radiólogo es la fracción de una población de tumores que sobrevive al tratamiento.

La fracción sobreviviente está dada por la función \((x)=e^{-kx}\), donde \(k\) representa el tamaño promedio del blanco, es decir, del tumor y \(x\) el número de eventos destructivos (la dosis de radioterapia).

Si el tamaño promedio de un tumor es de 35 mm y la dosis de radioterapia es 35 unidades, entonces fracción de sobreviviente del tumor es:

\(f(x)=e^{-kx}=e^{-35*35}=e^{-1225}\)

Donde e un número irracional que se aproxima al valor \(2.71828\)......

Ciertas cantidades físicas decrecen exponencialmente. Uno de lo ejemplos comunes es la desintegración radiactiva, la que está dada por la función \(f(x)=ae^{-kt}\,(k>0)\), donde \(t\) es la variable independiente que denota el tiempo, \(k\) es la constante de decrecimiento y a representa la cantidad  de sustancia en cualquier instante de tiempo.

Esta función es conocida como función de decrecimiento exponencial.

¿Cuál función se le denomina función exponencial natural?