Trazado de gráficas de \(y=Ax^2+Bx+C\)
Recordemos que las gráficas con ecuaciones \(y=Ax^2\) se denominan parábolas.
Observemos las siguientes parábolas que tienen las siguientes características.
La ecuación de la gráfica c, es de la forma \(y-k=a(x-h)^2\); esta ecuación es equivalente a la forma \(y=Ax^2+Bx^2+C\). Veamos porque.
De lo anterior se concluye que:
· Una ecuación de la forma \(y-k=a(x-h)^2\) es equivalente a la ecuación \(y=Ax^2+Bx+C\).
· La parábola descrita por la ecuación \(-k=a(x-h)^2\) es congruente con la parábola descrita por la ecuación \(y=Ax^2+Bx+C\).
· En la ecuación \(y=Ax^2+Bx+C\), \(C\) es la ordenada del punto de corte de la gráfica con el eje \(y\).
Si la parábola es cóncava hacia arriba, tiene un mínimo que es el vértice.
Si la parábola es cóncava hacia abajo, tiene un máximo que es el vértice.
Ejemplo:
Tracemos la gráfica de \(y=x^2-6x+5\).
· Trasformamos la ecuación a \(y=x^2-6x+5\) en la forma \((y-k)=a(x-h)^2\)
· Escribamos a \(y=x^2-6x+5\) como \(y-5=x^2-6x\)
· Debemos expresar \(x^2-6x\) como un trinomio cuadrado perfecto. Para ello apliquemos el procedimiento de completación de cuadrado.
· Recordemos que para completar el cuadrado en una expresión cuadrática de la forma \(x^2+bx\), se adiciona el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; o sea: \((\frac{b}{2})^2\).
· De esta ecuación determinamos el vértice de la parábola: (3,-4).
· Como a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un punto mínimo en su vértice.
· El eje de simetría es \(x=3\)
· Los valores de la tabla, ayudan a definir mejor la gráfica.
Para construir la tabla damos algunos valores a la variable independiente x.
X
Y
-1
12
0
5
1
2
-3
3
-4
4
6
7
Si \(x=6\)
\(y+4=(6-3)^2\) \(y+4=9\) \(y=9-4\) \(y=5\)
\(y+4=(6-3)^2\)
\(y+4=9\)
\(y=9-4\)
\(y=5\)
Si \(x=5\)
\(y+4=(5-3)^2\) \(y+4=4\) \(y=4-4\) \(y=0\)
\(y+4=(5-3)^2\)
\(y+4=4\)
\(y=4-4\)
\(y=0\)
PREGUNTA: Completar y factorizar \(x^2+12x\)