El área lateral del cono: \(\Large\bf A_L=\pi rg\)
El área total del cono: \(\Large\bf A_T=\pi rg+\pi r^2=\pi r(g+r)\)
Volumen del cono: \(\Large\bf V=\frac{\pi *r^2*a}{3}=\frac{1}{3}\pi r^2*a\)
Donde \(r\) es el radio de la base, \(g\) es la generatriz del cono y \(a\) la altura.
El radio del sector circular se llama generatriz \(g\) o altura inclinada del cono y su longitud corresponde a la medida de la distancia entre el vértice del cono y el borde de la circunferencia de la base. La generatriz, la altura del cono y el radio de la base forman un triángulo rectángulo, lo que nos permite hallar el valor de a generatriz.
Ejemplo:
¿Cuánto papel decorado se gasta para forrar el sombrero cónico de la figura, que mide 30 cm de alto y el diámetro de la base tiene 18 cm?
Solució:
Como es un sombrero, no tiene base. Basta calcular el área lateral. Pero necesitamos el valor de la generatriz, Para hallarlo utilizamos el teorema de Pitágoras:
\(g^2=(30\, cm)^2+(9\, cm)^2\) \(g^2=900\, cm^2+81\, cm^2\) \(g^2=981\, cm^2\) \(g=\sqrt{981\, cm^2}=31,32\, cm\, aproximadamente\)
\(g^2=(30\, cm)^2+(9\, cm)^2\)
\(g^2=900\, cm^2+81\, cm^2\)
\(g^2=981\, cm^2\)
\(g=\sqrt{981\, cm^2}=31,32\, cm\, aproximadamente\)
Por tanto:
\(A_L=\pi *9\, cm*31,32\, cm\) \(A_L=\pi *281,88\, cm^2\) \(A_L=(3,14)*281,88\, cm^2\) \(A_L=885,10\ cm^2\, aproximadamente\)
\(A_L=\pi *9\, cm*31,32\, cm\)
\(A_L=\pi *281,88\, cm^2\)
\(A_L=(3,14)*281,88\, cm^2\)
\(A_L=885,10\ cm^2\, aproximadamente\)
PREGUNTA: Hallar el volumen del sombrero cónico del ejemplo anterior.