2 Lección: La lógica de la geometría

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Para validar un sistema que estamos construyendo en geometría, hacemos uso del razonamiento deductivo, que se basa en la demostración.

Demostrar es hallar un camino a través de argumento lógicos para validar una afirmación, usando postulados y definiciones. Las proposiciones que queremos demostrar se llaman teoremas.

Los teoremas que demostraremos tienen forma de oraciones condicionales; por ejemplo: "si paso la evaluación, aprobaré la asignatura". o "veré la salidad del Sol al levantarme temprano". Las oraciones condicionales constan de dos partes: una condición y una conclusión. Por eso, toda oración condicional puede reformularse escribiéndola así: "si..., entonces..." el segundo ejemplo podemos reformularlo así: " si me levanto temprano, entonces veré la salida del Sol".

En geometría, para probar una proposición condicional mediante el razonamiento deductivo, utilizaremos el siguiente proceso:

  • Asumimos que la hipótesis es verdadera. Esta es la información dada.
  • Aplicamos los postulados, las definiciones, las propiedades algebraicas o los teoremas ya demostrados, en orden lógico.
  • Llegamos a la conclusión.

Cuando un terorema se demuestra, se convierte en una nueva herramienta para dar argumentos.

Para comprender el teorema, lo reformularemos separando las condiciones y lo que nos piden demostrar. Siempre que sea posible conviene hacer un dibujo de la situación. Veamos:

TEOREMA: Dada una recta y un punto exterior a ella, existe un único plano que contiene a la recta y al punto.

Solución:

Reformulación:

Dados: \(l\) es una recta y \(P\) un punto que no pertenece a \(l\).
Demostremos: existe un único plano que contiene a \(l\) y a \(P\).

7.17

Para organizar la demostración separaremos en dos columnas las afirmaciones que vamos haciendo de las justificaciones de dichas afirmaciones.

Demostración:

7.18.JPG

Afirmación

Justificación
1. Tomemos dos puntos (A y B) de la recta \(l\). 1. Una recta contiene al menos dos puntos (postulado)
2. El punto \(P\) no está en la recta. 2. Afirmación dada en el enunciado.
3. A, B, P son no colineales 3. Definición de puntos no colineales
4. A, B y P están contenidos en único planno M 4. Dados tres puntos diferentes, hay exactamente un plano que los contiene (postulado)
5. \(l\) está en M 5. Si dos puntos están en un plano, la recta que los contiene también esta en l plano (postulado).

De nuestro razonamiento concluimos que hay exactamente un solo plano que contiene a \(l\) y a \(P\).

PREGUNTA: Si se tiene el paralelogramo ABDC de la figura:

Reponder V si es veraddero o F si es falso las siguientes afirmaciones concluidas del enunciado.

  • ABCD es un paralelogramo.
  • El segmento AB es perpendicular a DC.
  • El segmento BC es paralelo al segmento AD.