Área de la superficie de una pirámide regular.
El área lateral de una pirámide regular es:
El área de cada cara corresponde al área del tríángulo \(A=\frac{l\cdot{h}}{2}\). Si el polígono de la base tiene \(n\) lados, entonces el área lateral de la pirámide será:
\(A_L=n\cdot{\frac{l\cdot{h}}{2}}=\frac{(n\cdot{l})\cdot{h}}{2}\)
\(\Large\bf A_L=\frac{p\cdot{h}}{2}\)
El área total de una pirámide regular:
\(\Large\bf A_T=A_L+B\)
Volumen de la pirámide:
\(V=\frac{1}{3}B\cdot{a}\)
No se debe confundir la altura de la pirámide con la altura de su cara lateral; para diferenciarlas, utilizaremos para el volumen, la altura como la letra \(a\) y para el área, la altura como la letra \(h\).
Ejemplo:
Calculemos el área total y el volumen de la pirámide regular de la figura, cuya base en un pentágono de 10 cm de lado y 6,9 cm de apotema, y la altura mide 14 cm.
Solución:
Primero calculamos el área de la base pentagonal: \(B=\frac{perimetro*apotema}{2}\) \(B=\frac{(5\cdot{10}\, cm)\cdot{6,9}\, cm}{2}=172,5\, cm^2\) Para hallar el área lateral debemos conocer la medida de la altura de las caras de la pirámide. Para calcular esa altura nos valemos del hecho de que la atura de la pirámide, una apotema de la base y la altura de la cara correspondiente forman un triángulo rectángulo (figura b). Usemos el teorema de Pitágoras: \((altura\, de\, l\, cara)^2=(altura\, de\, la\, piramide)^2+(apotema)^2\) \(h^2=(14\, cm)^2+(6,9\, cm)^2=\) \(h^2=196\, cm^2+47,61\, cm^2=243,61\, cm^2\) \(h=\sqrt{243,61\, cm^2}=15,6\, cm\) aproximadamente. Área lateral: \(A_L=\frac{p\cdot{h}}{2}=\frac{(5\cdot{10}\, cm)\cdot{15,6}\, cm}{2}=390\, cm^2\) Área total: \(A_T=A_L+B=390\, cm^2+172,5\, cm^2=562,5\, cm^2\) Volumen: \(V=\frac{1}{3}(B\cdot{a})=\frac{172,5\ cm^2\cdot{14}\, cm}{3}=805\, cm^3\) PREGUNTA: Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.
Primero calculamos el área de la base pentagonal: \(B=\frac{perimetro*apotema}{2}\)
\(B=\frac{(5\cdot{10}\, cm)\cdot{6,9}\, cm}{2}=172,5\, cm^2\)
Para hallar el área lateral debemos conocer la medida de la altura de las caras de la pirámide. Para calcular esa altura nos valemos del hecho de que la atura de la pirámide, una apotema de la base y la altura de la cara correspondiente forman un triángulo rectángulo (figura b). Usemos el teorema de Pitágoras:
\((altura\, de\, l\, cara)^2=(altura\, de\, la\, piramide)^2+(apotema)^2\)
\(h^2=(14\, cm)^2+(6,9\, cm)^2=\)
\(h^2=196\, cm^2+47,61\, cm^2=243,61\, cm^2\)
\(h=\sqrt{243,61\, cm^2}=15,6\, cm\) aproximadamente.
Área lateral: \(A_L=\frac{p\cdot{h}}{2}=\frac{(5\cdot{10}\, cm)\cdot{15,6}\, cm}{2}=390\, cm^2\)
Área total: \(A_T=A_L+B=390\, cm^2+172,5\, cm^2=562,5\, cm^2\)
Volumen: \(V=\frac{1}{3}(B\cdot{a})=\frac{172,5\ cm^2\cdot{14}\, cm}{3}=805\, cm^3\)
PREGUNTA: Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.