6 Lección: Variación de las funciones trigonométricas

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Antes de continuar con el análisis de estas funciones, es necesario hacer algunas precisiones en el lenguaje a usar:

Si \(f\) es una función definida en un subconjunto \(l\) de \(\mathbb{R}\) y además \(x_1,\, x_2\) y \(c\) son elementos cualesquiera de \(l\) entonces:

  • \(f\) se dice creciente en \(l\) si \(f(x_1)<f(x_2)\) siempre que \(x_1<x_2\)

  • \(f\) se dice decreciente en \(l\) si \(f(x_1)>f(x_2)\) siempre que \(x_1>x_2\)

  • \(f(c)\) es un máximo de \(f\) en \(l\) si \(f(x)\leq f(c)\) para todo \(x\) de \(l\)

  • \(f(c)\) es un mínimo de \(f\) en \(l\) si \(f(x)\geq f(c)\) para todo \(x\) en \(l\)

  • \(f(c)\) se dice una cota superior de \(f\) en \(l\), si es el mayor de los valores máximos de la función

  • \(f(c)\) se dice una cota inferior de \(f\) en \(l\), si es el menor de los valores mínimos de la función.
Finalmente, convenimos en denotar por \("\infty"\) (infinito), los valores numéricamente tan grandes como se quiere para abreviar hechos como el caso de \(tan\,\frac{\pi}{2}:\) si \(x\) se aproxima a \(\frac{\pi}{2}\) por su izquierda se tiene que \(tan\,\frac{\pi}{2}=+\infty\) y si \(x\) se acerca a \(\frac{\pi}{2}\) por su derecha se tiene que \(tan\,\frac{\pi}{2}=-\infty\).
Si una función crece en un intervalo su recíproca decrece y viceversa.

Si una función vale 1 su recíproca también toma este valor.

Si una función vale 0 su recíproca tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\)

Como ya conocemos el signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante, el dominio y el recorrido, los valores que toman en los ángulos especiales y su periocidad, veamos le crecimiento y decrecimiento de estas funciones en cada cuadrante.
Seno I. crece de 0 a 1 II: Decrece de 1 a 0
III. Decrece de 0 a -1 IV. Crece de -1 a 0
Coseno I. Decrece de 1 a 0 II. Decrece de 0 a -1
III. Crece de -1 a 0 IV. Crece de 0 a 1
Tangente I. Crece de 0 a \(+\infty\) II. Crece de \(-\infty\) a 0
III. Crece de 0 a \(+\infty\) IV. Crece de \(-\infty\) a 0
Cotangente I. Decrece de \(+\infty\) a 0 II. Decrece de \(-\infty\) a 0
III. Decrece de \(+\infty\) a 0 IV. Decrece de \(-\infty\) a 0
Secante I. Crece de 1 a \(+\infty\) II. Crece de \(-\infty\) a -1
III. Decrece de -1 a \(-\infty\) IV. Decrece de \(+\infty\) a 1
Cosecante I. Decrece de \(+\infty\) a 1 II. Crece de 1 a \(+\infty\)
III. Crece de \(-\infty\) a -1 IV. Decrece de -1 a \(-\infty\)
PREGUNTA: Crece de \(-\infty\) a 0. De que función estamos hablando.