10° MATEMÁTICAS

De forma análoga a como se ha analizado el comportamiento de la función seno, se realiza el estudio de la función coseno, en el caso de \(0\leq x\leq 2\pi\) y se amplía después para todo \(x\in\mathbb{R}\). La gráfica que se muestra a continuación se obtiene de la siguiente tabla de valores conocidos:

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

• Dom \((cos\, x)=\mathbb{R}\)

• Rang \((cos\, x)=[-1,\, 1]\)

• La función \(y=cos\, x\) es par ya que \(cos\, (-x)=cos\, x\)

• La función \(y=cos\, x\) es periódica y su período es \(t=2\pi\) puesto que se cumple que \(cos\, x=cos\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}\)

• La función  \(y=cos\, x\) es estrictamente creciente en los intervalos \(((2k-1)\pi,\, 2k\pi)\) y es estrictamente decreciente en los intervalos \((2k\pi,\, (2k+1)\pi),\, k\in\mathbb{Z}\)

• La función  \(y=cos\, x\) no es inyectiva pues \(cos\, x_1=cos\, x_2\) no implica que \(x_1=x_2\).

• La función  \(y=cos\, x\) no es sobreyectiva porque \(Rang\, (cos\, x)\neq\mathbb{R}\)

• La función  \(y=cos\, x\) es acotada pues \(-1\leq cos\, x\leq 1\) alcanza su valor máximo en \(x=2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\) y su valor mínimo para \(x=(2k+1)\pi,\, k\in\mathbb{Z}\)

• La función  \(y=cos\, x\) se anula para múltiplos impares de \(x=\frac{\pi}{2},\, x=\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2},\cdots,\,\,(2k+1)\frac{\pi}{2}\); es decir \(cos(\frac{\pi}{2}+k\pi)=0,\, k\in\mathbb{Z}\).

PREGUNTA: La función \(y=cos\, x\) es impar.