10° MATEMÁTICAS

Se considera la función \(f(x)=sen\, x\), donde \(x\) es el valor de un ángulo medido en radianes, por lo que \(x\), puede ser cualquier número real y \(f(x)\) es el valor del seno del ángulo \(x\).

Cuando el ángulo es mayor que \(2\pi\) o menor que cero, el valor de \(sen\, x\) se puede reducir según ya estudiamos, a un valor correspondiente de \(x\), pero comprendido entre 0 y \(2\pi\) radianes. Así, la gráfica de \(f(x)=sen\, x\) tendrá la siguiente forma:

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

• Dom \((sen\, x)=\mathbb{R}\)

•  

  Rang \((sen\, x)=[-1,\, 1]\)

•  

  La función \(y=sen\, x\) es impar ya que \(sen\, (-x)=-sen\, x\)

•  

  La función \(y=sen\, x\) es periódica y su período es \(t=2\pi\) puesto que se cumple que \(sen\, x=sen\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}\)

•  

  La función  \(y=sen\, x\) es estrictamente creciente en los intervalos \((-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}),\, (\frac{3\pi}{2}),\,\frac{5\pi}{2}),\cdots\) y es estrictamente decreciente en los intervalos \((-\frac{3\pi}{2},\, -\frac{\pi}{2}),\, (\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}),\cdots\)

•  

  La función  \(y=sen\, x\) no es inyectiva pues \(sen\, x_1=sen\, x_2\) no implica que \(x_1=x_2\).

•  

  La función  \(y=sen\, x\) no es sobreyectiva porque \(Rang\, (sen\, x)\neq\mathbb{R}\)

•  

  La función  \(y=sen\, x\) es acotada ya que \(-1\leq sen\, x\leq 1\) alcanza su valor máximo en \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) y su valor mínimo para \(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\)

•  

  La función  \(y=sen\, x\) se anula para \(x=0,\,\pi,\, 2\pi,\cdots,\, k\pi\). Esto es \(sen\, k\pi=0,\, k\in\mathbb{Z}\).

PREGUNTA: El periodo de la función  \(y=sen\, x\) es