ECUACIONES CON RADICALES SIMPLES
Ecuaciones en las que la variable aparece bajo un radical, se llaman comúnmente ecuaciones radicales. El método para resolver ese tipo de ecuaciones consiste en ir eliminando los radicales, sucesivamente, elevando cada miembro de la ecuación a la potencia correspondiente, como por ejemplo \((\sqrt{x})^2=x,\, (\sqrt[3]{x})^3=x\), etc. Este proceso lleva a una ecuación para la cual su conjunto solución no es necesariamente el mismo de la ecuación original.
En general, el conjunto solución de una ecuación radical es subconjunto solución de la ecuación que resulta al elevar ambos miembros de la ecuación original a una misma potencia. Por esa razón, al resolver ecaciones con radicales, deben verificarse las soluciones obtenidas para estar seguras de que tales valores satisfacen la ecuación original.
Ejemplo 1:
Resolvamos la ecuación \(\sqrt{7x-3}+2=11\)
Solución:
En este caso la ecuación contiene una raiz cuadrada, por esta razón se elevan al cuadrado ambos miembros, no sin antes simplificar la ecuación.
\(\sqrt{7x-3}+2=11\) \(\sqrt{7x-3}=9\) \((\sqrt{7x-3})^2=(9)^2\) Elevamos al cuadrado ambos lados. \(7x-3=81\) Resolvemos los cuadrados. \(7x=84\) Simplificamos operaciones \(x=\frac{84}{7}=12\) Despejamos x.
\(\sqrt{7x-3}+2=11\)
\(\sqrt{7x-3}=9\)
\((\sqrt{7x-3})^2=(9)^2\) Elevamos al cuadrado ambos lados.
\(7x-3=81\) Resolvemos los cuadrados.
\(7x=84\) Simplificamos operaciones
\(x=\frac{84}{7}=12\) Despejamos x.
Verifiquemos si ese valor es solución de la ecuación.
\(\sqrt{7(12)-3}+2=\sqrt{84-3}+2=\sqrt{81}+2=9+2=11\)
Por tanto, el valor 12 para x es solución de la ecuación.
Ejemplo 2:
Resolvamos la ecuación \(\sqrt{3x^2+52}-4x=0\)
Este ejercicio se difereencia del ejercicio anterior porque la variable está en los dos términos del lado izquierdo de la ecuación.
\(\sqrt{3x^2+52}-4x=0\)
Sumando el opuesto de -4x en ambos lados de la igualdad, obtenemos una ecuación equivalente a la dada, con expresión radical en un sólo lado de la ecuación.
\((\sqrt{3x^2+52})^2=(4x)^4\) Elevamos al cuadrado cada lado de la ecuación. \(3x^2+52=16x^2\) Resolvemos los cuadrados. \(52=13x^2\) Simplificamos términos. \(\frac{52}{13}=x^2\) \(4=x^2\) Hallamos la raiz cuadrada. \(\pm 2=x\)
\((\sqrt{3x^2+52})^2=(4x)^4\) Elevamos al cuadrado cada lado de la ecuación.
\(3x^2+52=16x^2\) Resolvemos los cuadrados.
\(52=13x^2\) Simplificamos términos.
\(\frac{52}{13}=x^2\)
\(4=x^2\) Hallamos la raiz cuadrada.
\(\pm 2=x\)
Verifiquemos si los valores obtenidos, \(-2\) y \(2\), son solución de la ecuación original.
Por tanto la solución de la ecuación \(\sqrt{3x^2+52}-4x=0\) es sólo \(2\).
Ejemplo 3:
Resolvamos la ecuación \(\sqrt{a+5}=\frac{4}{\sqrt{a-1}}\)
\((\sqrt{a+5})^2=(\frac{4}{\sqrt{a-1}})^2\) \(a+5=\frac{16}{a-1}\) \(a+5-\frac{16}{a-1}=0\) Igualamos a cero la ecuación. \(\frac{(a+5)(a-1)-16}{a-1}=0\) Reducimos a común denominador. \((a+5)(a-1)-16=0\) El numerador es el que se hace cero. \(a^2+4a-5-16=0\) Efectuamos operaciones. \(a^2+4a-21=0\) \((a-3)(a+7)=0\) factorizamos el lado izquierdo de la ecuación. \(a-3=0\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, a+7=0\) \(a=3\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, a=-7\)
\((\sqrt{a+5})^2=(\frac{4}{\sqrt{a-1}})^2\)
\(a+5=\frac{16}{a-1}\)
\(a+5-\frac{16}{a-1}=0\) Igualamos a cero la ecuación.
\(\frac{(a+5)(a-1)-16}{a-1}=0\) Reducimos a común denominador.
\((a+5)(a-1)-16=0\) El numerador es el que se hace cero.
\(a^2+4a-5-16=0\) Efectuamos operaciones.
\(a^2+4a-21=0\)
\((a-3)(a+7)=0\) factorizamos el lado izquierdo de la ecuación.
\(a-3=0\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, a+7=0\)
\(a=3\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, a=-7\)
Verifiquemos si \(a=3\)
\(\sqrt{3+5}=\frac{4}{\sqrt{3-1}}\) \(\sqrt{4.2}=\frac{4*\sqrt{2}}{\sqrt{2}*sqrt{2}}\) Racionalizamos el denominador del lado derecho de la ecuación. \(2\sqrt{2}=\frac{4*\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{3+5}=\frac{4}{\sqrt{3-1}}\)
\(\sqrt{4.2}=\frac{4*\sqrt{2}}{\sqrt{2}*sqrt{2}}\) Racionalizamos el denominador del lado derecho de la ecuación.
\(2\sqrt{2}=\frac{4*\sqrt{2}}{2}\)
\(2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) Luego \(a=3\) es solución de la ecuación.
Notemos que \(a=-7\) no es solución, ya que dentro del radical quedaría un número negativo, y en los reales no existen raíces cuadrados de números negativos.
PREGUNTA: Al resolver la siguiente \(\sqrt{5x+4}+4=12\) el resultado es: