GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la unidad \(2\) vimos el trazado de gráficas de funciones cuadráticas, ahora estudiaremos cómo los ceros de estas funciones son, a su vez, soluciones de la ecuación cuadrática.
Comencemos por analizar la gráfica de la función \(f\) definida por la ecuación \(f(x)=x^2-4x+3\)
Hagamos una tabla de valores y hallemos las coordenadas de algunos de los puntos de la gráfica de al función: \(y=x^2-4x+3\)
\(y-3=x^2-4x\) \(y-3+4=x^2-4x+4\) \(y+1=(x-2)^2\) \(y=(x-2)^2-1\)
\(y-3=x^2-4x\)
\(y-3+4=x^2-4x+4\)
\(y+1=(x-2)^2\)
\(y=(x-2)^2-1\)
Notemos que hay dos valores distintos de \(x\) que dan exactamente el mismo valor para \(y\).
x
-1
8
0
3
1
2
4
5
El único valor de \(x\) que no tiene otro valor para \(y\), es \(x = 2\). Además como \((x-2)^2\geq 0\) para todo valor de \(x\), entonces \((x-2)^2-1\geq -1\). Eso significa que el valor mínimo para \(y\) es \(-1\), que se obtiene cuando \(x = 2\).
Teniendo en cuenta el análisis anterior, podemos hacer un bosquejo de la gráfica, como se muestra en la figura.
La parábola de la función \(f(x)=x^2-4x+3\) es cóncava hacia arriba porque \(a\geq 1\) y el punto de coordenadas \((2, -1)\) es el punto mínimo que corresponde al vértice. La recta vertical de ecuación \(x = 2\) se llama eje de simetría de la parábola. El punto de coordenadas \((0,3)\) es el y-intersecto y los puntos de coordenadas \((1,0)\) y \((3,0)\) son los x-intersectos. Notemos que las abscisas de esos puntos, es decir \(1\) y \(3\), son las soluciones de las ecuación \(f(x)=x^2-4x+3\).
Como anotamos anteriormente, todos los puntos de una parábola, excepto el vértice, aparecen en pares que tienen la misma ordenada y diferente abscisa; la abscisa en el vértice corresponde al valor medio entre los valores de las abscisas de puntos con igual ordenada.
Si representamos las gráficas de las ecuaciones \(y=x^2+6x+5;\, y=x^2+6x;\, y=x^2+6x-7\) en la figura, vemos que todas ellas tienen la misma abscisa en el vértice.
Las ecuaciones se diferencian |entre sí sólo por el término independiente. Podemos hallar una expresión para la abscisa del vértice de la parábola \(y=ax^2+bx+c\). Si en la ecuación \(y=ax^2+bx\) buscamos los puntos donde la curva corta al eje \(x\), es decir, los puntos donde la ordenada vale \(0\), tenemos:
\(y=ax^2+bx=0\)
\(x(ax+b)=0\), luego: \(x=0\) o \(ax+bx=0\)
\(ax=-b\)
\(x=-\frac{b}{a}\)
El valor medio entre los dos valores de x es \(-\frac{b}{2a}\). Por tanto, el valor de la abscisa del vértice de la parábola es \(-\frac{b}{2a}\).
Remplazando el valor de \(x\) en la ecuación de la parábola, podemos hallar la ordenada del vértice.
\(y=a(\frac{-b}{2a})^2+b(\frac{-b}{2a})+c\)
\(y=a\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c\)
\(y=a\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c\)
\(y=a\frac{-b^2}{4a}+c\)
\(y=c-\frac{b^2}{4a}\)
Por tanto, las coordenadas del vértice de una parábola de ecuación \(y=ax^2+bx+c\) son \((\frac{-b}{2a}\,\, ;\,\, c-\frac{b^2}{4a})\)
Hemos encontrado dos maneras de hallar las coordenadas del vértice de la parábola, una como aparece en ele desarrollo anterior, y la otra, completando el cuadrado, como se hizo en el primer caso desarrollado en la lección. Cuando se obtiene la expresión de la forma \(y=a(x-h)^2+k,\, (h, k)\) son las coordenadas del vértice.
La ecuación del eje de simetría de la parábola es \(x=-\frac{b}{2a}\).
Ejemplo:
Representemos la curva de ecuación \(y=x^2-7x+11\); hallemos las coordenadas del vértice y de los interfectos con los ejes.
Solución:
En este caso tenemos \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 11\).
Coordenadas del vértice: \(v(\frac{-(-7)}{2*1},\, 11-\frac{(-7)^2}{4*1})=(\frac{7}{2},\, -\frac{5}{4})\)
Interfectos:
El intersecto con el eje \(y\) es el punto de coordenadas (0,11).
\(x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4*1*11}}{2*1}=\frac{7\pm\sqrt{49-44}}{2}\)
\(x_1=\frac{7+\sqrt{5}}{2},\,\,\,\,\,\,\, x_2=\frac{7-\sqrt{5}}{2}\)
Hay dos intersectos con el eje \(x\), \((x=\frac{7-\sqrt{5}}{2},0)\, (\frac{7+\sqrt{5}}{2},0)\), ya que la ecuación \(x^2-7x+11=0\) tiene dos raíces reales. La gráfica se muestra en la figura.
El rango de la función es \([-\frac{5}{4},+\infty)\)
PREGUNTA: Las coordenadas del vértice de la función \(y=-x^2-4x-4\) son: