DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Hemos aprendido a hacer un modelo de la grafica de funciones de la forma \(y=ax^2+bx+c=0\). Ahora estudiaremos algunos casos de desigualdades cuadráticas. La gráfica de estas desigualdades consta de todos los puntos \((x,y)\) que son solución de la desigualdad.
Analicemos la gráfica de los puntos que satisfacen la desigualdad \(y\geq x^2-3\).
Los puntos que cumplen la ecuación \(y=x^2-3\) son los de la parábola que abre hacia arriba, cuyo vértice esta en (0,-3) y sus x-intersectos son \((-\sqrt{3},0)\, y\, (\sqrt{3}{0},0)\), como se muestra en la figura.
La curva divide el plano entres regiones: los puntos dentro de la curva, los puntos en la curva y los puntos fuera de esta. ¿Cuáles de esos puntos satisfacen la desigualdad?
Por ejemplo, todos los que tienen abcisa \(0\) y ordena mayor que \(-3\), ya que si \(x=0\), la desigualdad se trasforma en \(y>0^2-3\, o\, y>-3\), por ejemplo (0,1), (0,15), porque \(1>0^2-3\, y\, 15>0^2-3\)
Si analizamos la relación que existe entre la ordenada y la abcisa de los puntos que están sobre la recta \(x=1\), encontramos que le punto \((1,-2)\) pertenece a la parábola, y todos los puntos \((1,y)\) con \(y>-2\), son puntos de la región que estamos tratando de determinar. Por ejemplo \((1,-1)\); \((1,0)\); \((1,5)\), están en la región, porque:
\(-1>1^2-3=-1>-2\) \(0>1^2-3=0>-2\) \(5>1^2-3=5>-2\)
\(-1>1^2-3=-1>-2\)
\(0>1^2-3=0>-2\)
\(5>1^2-3=5>-2\)
En resumen, cumplen la desigualdad, todos los puntos del plano que están sobre la parábola por encima de ella. Los puntos que cumplen la desigualdad corresponden a la región sombreada que se muestra en la figura.
Cuando los puntos de la curva pertenecen a la gráfica de la región, se dice que la región es cerrada, si no pertenecen, se dice que la región es abierta.
La gráfica de la región sombreada corresponde a la relación \({(x,y)|y\geq x^2-3}\). El dominio de la relación son los números reales, y el rango son los números reales mayores o iguales que \(-3\), puesto que \(-3\) es la ordenada del vértice de la parábola, el punto más bajo de la curva.
Ejemplo 1:
Tracemos la gráfica de los puntos del plano que satisfacen la desigualdad \(y<x^2-7x+6\)
Tracemos primero los puntos de la parábola \(y=x^2-7x+6\), con línea interrumpida, puesto que esos puntos no satisfacen la desigualdad.
La parábola abre hacia arriba, su vértice es el punto \((\frac{7}{2},\, -\frac{25}{4})\), el y-intersecto es \((0,6)\), los x-intersectos son \((1,0)\).
Ahora localicemos algunos puntos que satisfacen la desigualdad. Si trazamos en el mismo plano donde está la gráfica de la parábola la recta \(x = 2\), el punto \((2,-4)\) de la recta queda sobre la parábola. Los puntos de abcisa \(2\) y ordenada menor que \(-4\), satisfacen la desigualdad dada. Por ejemplo, los puntos de coordenadas \((2,-6)\), \((2,-13)\), \((2,-25)\), porque:
\(-6<2^2-7*2+6;\,\,\, -6<-4\) \(-13<2^2-7*2+6;\,\,\, -13<-4\) \(-25<2^2-7*2+6;\,\,\, -25<-4\)
\(-6<2^2-7*2+6;\,\,\, -6<-4\)
\(-13<2^2-7*2+6;\,\,\, -13<-4\)
\(-25<2^2-7*2+6;\,\,\, -25<-4\)
De igual manera los puntos de la recta \(x = -3\) cuya coordenada sea menor que \(6\), satisfacen la desigualdad. Por ejemplo \((-3,5)\), ya que \(5<(-3)^2-7*(-3)+6;\, 5<36\). Por tanto, satisfacen la desigualdad todos los puntos del plano que están por debajo de la parábola de la ecuación \(y=x^2+7x+6\). La región sombreada que se muestra en la figura corresponde a la grafica de los puntos que satisfacen la desigualdad.
El dominio y el rango de la relación son los números reales.
Ejemplo 2:
Realicemos la gráfica de los puntos del plano que satisfacen simultáneamente las condiciones: \(y\leq 5-4x-x^2\,\,\, y\,\,\, y\geq x\)
Primero ubicamos los puntos de la parábola \(y\leq 5-4x-x^2\). Está tiene por vértice a \((-2,9)\), y-intersecto a (0,5), x-intersectos a (-5,0), (1,0) y abre hacia abajo.
Ahora ubicamos los puntos que satisfacen la primera desigualdad que son, además de los que pertenecen a la parábola, todos los que están por debajo de la parábola. En la grafica correspondiente a la región sombreada con verde.
Posteriormente ubicamos la recta de la ecuación \(y=x\) y, por ultimo, los puntos que satisfacen la desigualdad. En la grafica es la región sombreada con rojo.
Los puntos del plano que satisfacen simultáneamente las dos condiciones son los que pertenecen a la región que en la gráfica tiene los dos colores, es decir, la intersección entre las regiones determinadas por las desigualdades \(y\leq 5-4x-x^2\,\,\, y\,\,\, y\geq x\), que se muestra en la figura.
Las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta la podemos encontrar resolviendo el sistema.
\(\displaystyle\left\ { {y=5-4x+x^2\,\, (1)\atop\Large y=x\,\, (2)}\)
Remplazando (2) en (1) tenemos: \(x=5-4x+x^2\) igualando a cero la ecuación tenemos: \(x^2+5x-5=0\)
Resolviendo para x: \(x=\frac{-5\pm\sqrt{25+20}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}\)
Como la ecuación (2) exige que la ordenada y la abcisa sean iguales, la solución del sistema son los pares \((\frac{-5-\sqrt{45}}{2},\,\frac{-5-\sqrt{45}}{2})\, y \, (\frac{-5+\sqrt{45}}{2},\,\frac{-5+\sqrt{45}}{2})\)
El dominio de la relación que satisface simultáneamente las condiciones dadas es el intervalo \([\frac{-5-\sqrt{45}}{2},\,\frac{-5+\sqrt{45}}{2}]\). El rango de la relación es el intervalo \([\frac{-5-\sqrt{45}}{2},\,9]\).
PREGUNTA: Una desigualdad cuadrática se identifica por que: