PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
Apliquemos los métodos de solución de la ecuación cuadrática para resolver problemas.
Problema 1.
La figura muestra el patio de un colegio. La parte cementada tiene igual área que la parte embaldosada. Hallemos las dimensiones de la parte cementada, si el área de todo el patio es de \(2880m^2\).
Solución.
Teniendo en cuenta los datos, podemos expresar el área de la parte cementada y también la del patio.
Área de la parte cementada: \(b * h = 1440\) (1)
\(b=\frac{1440}{h}\) (2)
Área de todo el patio: \((b + 20)(h +12) = 2880\) (3)
Remplazando el valor de \(b\) dado en (2) en la ecuación (3) y desarrollando esta ecuación, tenemos:
\((\frac{1440}{h}+20)(h+12)=2880\) \((\frac{1440+20h}{h})(h+12)=2880\)
\((\frac{1440}{h}+20)(h+12)=2880\)
\((\frac{1440+20h}{h})(h+12)=2880\)
Factorizando y simplificando, tenemos:
\((\frac{20(72+h)}{h}(h+12)=\frac{20(144)h}{h}\) \((\frac{(72+h)(h+12)}{h}=\frac{144h}{h}\)
\((\frac{20(72+h)}{h}(h+12)=\frac{20(144)h}{h}\)
\((\frac{(72+h)(h+12)}{h}=\frac{144h}{h}\)
(72 + h)(h+12) = 144 h; como los denominadores son iguales, los numeradores también lo son.
\(72h+864+h^2+12h=144h\); ordenando el polinomio. \(h^2-60h+864=0\); Igualando a cero. \(h=\frac{60\pm\sqrt{3600-3456}}{2}\); aplicando la fórmula cuadrática. \(h=\frac{60\pm\sqrt{144}}{2}=\frac{60\pm 12}{2}\) \(h_1=\frac{72}{2}=36\,\,\,\,\,\,\ h_2=\frac{48}{2}=24\) Si \(h = 36m\), entonces \(b=\frac{1440}{36}=40\) Si \(h = 24m\), entonces \(b=\frac{1440}{24}=60\)
\(72h+864+h^2+12h=144h\); ordenando el polinomio.
\(h^2-60h+864=0\); Igualando a cero.
\(h=\frac{60\pm\sqrt{3600-3456}}{2}\); aplicando la fórmula cuadrática.
\(h=\frac{60\pm\sqrt{144}}{2}=\frac{60\pm 12}{2}\)
\(h_1=\frac{72}{2}=36\,\,\,\,\,\,\ h_2=\frac{48}{2}=24\)
Si \(h = 36m\), entonces \(b=\frac{1440}{36}=40\)
Si \(h = 24m\), entonces \(b=\frac{1440}{24}=60\)
Comprobemos cómo ambos resultados satisfacen las condiciones del problema.
Si las dimensiones de la parte cementada son \(40m\) y \(36m\), esta parte del patio tiene un aérea de \(40 * 36 = 1440\) y la parte embaldosada mide:
(40 + 20) * 12 + 20 * 36 = 60 * 12 + 20 * 36 = 720 + 720 = 1440m2.
Si las dimensiones de la parte cementada son 60m y 24m, esta parte del patio tiene un aérea de 60 * 24 = 1440 en este caso la parte embaldosada mide:
(60 + 20) * 12 + 20 * 24 = 80 * 12 + 480 = 960 + 480 = 1440m2.
Problema 2:
Una moto ha recorrido \(300 Km\). en cierto tiempo. Para recorrer esa misma distancia en una hora menos, la velocidad debería ser \(10 Km\). más por hora; ¿cuál es la velocidad de la moto?
Caso
v(km/h)
t( h)
d(km)
1
v
\(\frac{300}{v}\)
300
2
v + 10
\(\frac{300}{v+10}\)
Recordando que la distancia recorrida es igual al producto de la velocidad por el tiempo empleado en recorrerla, tenemos:
\(v * t = 300\) (1) \(t=\frac{300}{v}\) (2)
\(v * t = 300\) (1)
\(t=\frac{300}{v}\) (2)
\((v + 10)(t -1) = 300\) (3)
Remplazando el valor de \(t\) dado en (2) en la ecuación (3) tenemos:
\((v+10)(\frac{300}{v}-1)=300\) \((v+10)(\frac{300-v}{v}=300\) \((v + 0)(300-v) = 300v\) 300v – v2 + 3000 – 10v = 300v -v2 + 3000 – 10v = 0 Multiplicando por \(-1\) y ordenando el polinomio tenemos: v2 + 10v – 3000 = 0 \(v=\frac{-10\pm\sqrt{100+12000}}{2}\) Aplicando la fórmula cuadrática. \(v=\frac{-10\pm\sqrt{12100}}{2}=\frac{-10\pm 110}{2}\) \(v_1=\frac{-10+110}{2}=50,\,\,\,\,\, v_2=\frac{-10-110}{2}=-60\)
\((v+10)(\frac{300}{v}-1)=300\)
\((v+10)(\frac{300-v}{v}=300\)
\((v + 0)(300-v) = 300v\)
300v – v2 + 3000 – 10v = 300v
-v2 + 3000 – 10v = 0 Multiplicando por \(-1\) y ordenando el polinomio tenemos:
v2 + 10v – 3000 = 0
\(v=\frac{-10\pm\sqrt{100+12000}}{2}\) Aplicando la fórmula cuadrática.
\(v=\frac{-10\pm\sqrt{12100}}{2}=\frac{-10\pm 110}{2}\)
\(v_1=\frac{-10+110}{2}=50,\,\,\,\,\, v_2=\frac{-10-110}{2}=-60\)
El valor \(v = -60\) no tiene sentido para el enunciado del problema.
Si \(v = 50\), entonces \(t=\frac{300}{50}=6\).
La velocidad de la moto es 50 km/h y el tiempo que demora en hacer el recorrido es \(6\) horas. Si quiere hacer el mismo recorrido en una hora menos, la velocidad de la moto debe ser 60 km/h.
PREGUNTA: La suma de dos números es \(5\) y su producto es \(-84\). Halla dichos números.