1 Lección: Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 45º

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Para cada ángulo \(\theta\) del primer cuadrante, hay tres ángulos que llamaremos asociados a \(\theta\), que tienen sus razones trigonométricas iguales en valor absoluto. Estos ángulo se determinan sobre la circunferencia y del origen.

Los ángulos asociados a \(\theta\) son:

  • \(\theta\) en radianes: \(\pi-\theta,\,\pi+\theta,\, 2\pi-\theta\)
  • \(\theta\) en grados: \(180-\theta,\, 180+\theta,\, 360-\theta\)

Los ángulos asociados a 45º son 135º, 225º y 315º

para \(\theta=45^{\circ}\) el triangulo OPQ es rectángulo e isósceles, pues sus ángulos O y P son de 45º, luego sus catetos son iguales. Estos catetos OQ=x y PQ=x coinciden con el valor de seno y el coseno del ángulo de 45º.

Consideremos la circunferencia de radio 1.

Aplicando el teorema de Pitágoras a dicho ángulo triangulo se tiene:

\(1=x^2+x^2 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Por tanto las razones de 45º y sus ángulos asociados son los que se indican en la siguiente tabla:

\(\theta\)

sen(\(\theta\))

cos(\(\theta\))

tan(\(\theta\))

ctg(\(\theta\))

sec(\(\theta\))

csc(\(\theta\))

45º

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

1

\(\frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{2}{\sqrt{2}}\)

135º

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

1

-\(\frac{2}{\sqrt{2}}\)

-\(\frac{2}{\sqrt{2}}\)

225º

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

1

-\(\sqrt{2}\)

-\(\sqrt{2}\)

315º

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-1

-1

\(\sqrt{2}\)

-\(\sqrt{2}\)

 

PREGUNTA: Los ángulos asociados a 45º en radianes son: