2 Lección: Fórmula cuadrática

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FÓRMULA CUADRÁTICA

Toda expresión de la forma \(ax^2+bx+c=0\) es una ecuación de segundo grado con una incógnita. Los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, positivos o negativos. Se requiere que \(a\) sea diferente de cero para que la ecuación sea de segundo grado; los coeficientes \(b\) y \(c\) pueden ser \(0\).

Solucionemos la ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c=0\) completando el cuadrado:

\(ax^2+bx+c=0\)
\(ax^2+bx=-c\) Adicionamos – c a ambos lados
\(x^2+(\frac{b}{a})x =-\frac{c}{a}\) Dividimos entre \(a\neq 0\) cada término de la ecuación.
\(x^2+(\frac{b}{a})x+(\frac{b}{2})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\) Completamos el cuadrado adicionando \((\frac{b}{2a})^2\) a cada lado.
\([x+(\frac{b}{2a})]^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\)
\([x+(\frac{b}{2a})]^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
\(x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)
\(x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) Si \(b^2-4ac\geq 0\)
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

 

La última expresión que indica la solución de la ecuación, se conoce con el nombre de fórmula cuadrática. Esta nos da las raíces de la ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c=0\) en términos de los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\).

La ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c=0\) tiene dos soluciones que corresponden a números reales, cuando \(b^2-4ac>0\, y\, a\neq 0\). Tales soluciones son:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Si \(b^2-4ac=0\), las dos soluciones coinciden. Se tiene entonces;

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm 0}{2a}=\frac{-b}{2a}\)

Si \(b^2-4ac<0\) la ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Como el valor de \(b^2-4ac\) discrimina o diferencia el número de raíces de la ecuación cuadrática, se conoce con el nombre de discriminante de \(ax^2+bx+c=0\).

Ejemplo 1:

Hallemos la solución de la ecuación \(9x^2-4x-5=0\)

En este caso tenemos: \(a = 9\); \(b = -4\) y \(c = -5\)

Como \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), para los valores dados queda:

\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(9)(-5)}}{2(9)}\)\(x=\frac{4\pm\sqrt{16+180}}{18}=\frac{4\pm\sqrt{196}}{18}=\frac{4\pm 14}{18}\)\(x_1=\frac{4+14}{18}=\frac{18}{18}=1\)\(x_2=\frac{4-14}{18}=\frac{-10}{18}=-\frac{5}{9}\)

El conjunto solución de la ecuación es: \({-\frac{5}{9},\, 1}\)

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación \(4m^2-12m=-9\)

Solución:

Primero igualamos a cero la ecuación: \(4m^2-12m+9=0\)

En este caso \(a = 4\), \(b = -12\) y \(c = 9\)

\(m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)Luego: \(m=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}\)\(m=\frac{12\pm\sqrt{144-144}}{8}=\frac{12\pm 0}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)

El conjunto solución de la ecuación es \({\frac{3}{2}}\), un solo valor, pues \(b^2-4ac=0\)

Ejemplo 3:

Solucionar la ecuación \(3z^2+5z+1=0\), usando la fórmula cuadrática.

En este caso \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 1\)

\(z=\frac{-5\pm\sqrt{(5)^2-4(3)(1)}}{2(3)}\)\(z=\frac{-5\pm\sqrt{25-12}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}\)

El conjunto solución es : \({\frac{-5-\sqrt{13}}{6},\,\frac{-5+sqrt{13}}{6}\)

Hemos visto varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Resumen de los métodos vistos.

Método Cuándo usamos este método
1. Fórmula cuadrática. Si en la ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c=0\) se tiene \(b\neq 0,\, y \, c\neq 0\)
2. Factorizando \(x\). Si la ecuación cuadrática es la forma \(ax^2+bx=0,\, c=0\)
3. Haciendo uso de las propiedades de las raíces cuadradas de números iguales. Si la ecuación cuadrática es de la forma \(ax^2+c=0,\, b=0\)
4. Factorización. Si la ecuación cuadrática es de la forma \(ax^2+bx+c=0\) y existen \(m,n\in z\), tales que m * n = a * c y \(m\pm n=b\)
5. Completando el cuadrado. Si la ecuación cuadrática es de la forma \(ax^2+bx+c=0\) y \(b\neq 0,\, c \neq 0\)

 

Ejemplo 4:

Resolvamos la ecuación \(3q^2-7q+2=0\)

Aquí podemos usar la fórmula cuadrática, el método de factorización o la completación del cuadrado. Como \(b = -7\) es impar, no usamos el último porque es más complicado.

Solución:

Formula cuadrática Factorización
\(3q^2-7q+2=0\) a * c = 6, b = -7 = - 6 + (-1)
\(q=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4*3*2}}{2*3}\) \(3q^2-6q-q+2=0\)
\(q=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}\) 3q(q – 2) – 1(q – 2) = 0
\(q=\frac{7\pm\sqrt{25}}{6}=\frac{7\pm 5}{6}\) (3q – 1)(q – 2) = 0
\(q_1=\frac{7+5}{6}=\frac{12}{6}=2\) 3q – 1 = 0 o q – 2 = 0
\(q_2=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) \(q_1=\frac{1}{3}\, o \, q_2=2\)

 

El conjunto solución es \(\{\frac{1}{3},\, 2\}\).

PREGUNTA: La solución de la ecuación \(5y^2+3y+4=0\) es: