El padre de tres niños quiere premiar a sus hijos por la dedicación al estudio. Como los tres coleccionan estampillas, el padre compra 105 para repartírselas porporcionalemnte de acuerdo con sus edades. Los niños tienen 6, 7 y 8 años.
Como las 105 estampillas se repartíran todas, proporcionalmente, podemos establecer la siguiente proporción:
\(\frac{edad\,de\,cada\,nino}{suma\,de\,las\,edades}=\frac{No\,de\,estampillas\,para\,ese\,nino}{No\,total\,de\,estamplillas}\)
Con base en esta proporción, el padre elabora una tabla, teniendo en cuenta las propiedades de la proporcionalidad directa.
Para el que tiene 8 años: \(\frac{8}{21}=\frac{x}{105}\), de donde x = 40
Para el que tiene 7 años: \(\frac{7}{21}=\frac{y}{105}\), de donde y = 35
Para el que tiene 6 años: \(\frac{6}{21}=\frac{z}{105}\), de donde z = 30
El papá hizo tres montones de estamplillas, y las reparti+o así: al mayor le regaló 40; al segundo 35 y al menor 30.
En este caso hemos hecho un reparto proporcional directo.
El reparto proporcional directo consiste en repartir cierta cantidad en partes directamente proporcionales a varios números, de tal modo que puedan construirse proporciones en las cuales la razón entre una de las partes y el total repartido sea igual a la razón entre uno de los numeros y la suma de ellos.
La mamá de los niños que ha escuchado al padre, le sugiere reaprtir las 105 estampillas en partes inversamente proporcionales al número de estampillas que cada niño tiene. El mayor tiene 10, el segundo tiene 12 y el menor tiene 15.
Como el reparto es inversamente proporcional, podemos establecer la siguiente proporción.
\(\frac{inverso\,del\,No\,de\,estampillas\,de\,un\,nino}{suma\,de\,los\,inversos\,de\,las\,estampillas\,que\,tiene\,cada\,uno}=\frac{No\,de\,estampillas\,para\,ese\,nino}{No\,total\,de\,estampillas}\)
La mamá sugiere repartir así:
para el menor: \(\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}}=\frac{x}{105}\)
Como \(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{1}{4}\), entonces \(\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{4}}=\frac{x}{105}\), de donde: \(\frac{4}{15}=\frac{x}{105}\), por tanto x = 28.
Para el mediano: \(\frac{4}{12}=\frac{y}{105}\), por tanto y = 35
Para el mayor: \(\frac{4}{10}=\frac{z}{105}\), por tanto: z = 42
10
12
15
105
42
35
28
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{10}\)
\(\frac{1}{12}\)
\(\frac{1}{15}\)
Aquí hemos realizado un reparto proporcional inverso.
El reparto proporcional inverso consiste en repartir cierta cantidad en partes inversamente proporcionales a varios números, de tal forma que se puedan construir proporciones en las cuales la razón entre una de las partes y el total repartido sea igual a la razón entre el inverso de uno de los números y la suma de los inversos de todos ellos.
El reparto propuesto por la mamá no fue del agrado del papá.
Preocuapdo por este problema familiar, el menor de los niños habal con su profesor, quien le dice que es posible darle gusto a ambos padres, realizando un reparto compuesto de las estampillas en partes directamente proporcionales a las edades, y simultaneamente, inversamente proporcional al número de estampillas que ya tiene cada uno en su colección.
Basta repartir las estampillas en forma directamente proporcional al producto de cada edad por el inverso del número de estampillas de cada uno, es decir, a los números:
\(8*\frac{1}{10}=\frac{8}{10}\,\,\,7*\frac{1}{12}=\frac{7}{12}\,\,\,6*\frac{1}{15}=\frac{6}{15}\)
Expresando las fracciones con un denominador común obtenemos:
\(\frac{48}{60},\,\frac{35}{60},\,\frac{24}{60}\)
Como debemos repartir 105 estampillas en partes directamente proporcionales a \(\frac{48}{60},\,\frac{35}{60},\,\frac{24}{60}\), basta repartirlas proporcionalmente a 48, 35 y 24.
Para el mayor: \(\frac{48}{107}=\frac{x}{105}\); x = 47.1
Para el mediano: \(\frac{35}{107}=\frac{y}{105}\); y = 34.3
Para el menor: \(\frac{24}{107}=\frac{z}{105}\); z = 23.5
Con este procedimiento, el profesor hace la siguiente tabla:
\(48+35+24=107\)
\(\frac{48}{60}\)
\(\frac{35}{60}\)
\(\frac{24}{60}\)
47.1
34.3
23.5
De esta forma se sabe que los hermanos reciben 47, 34 y 24 estampillas, respectivamente.
Cuando sea necesario hacer un reparto compuesto, es decir, directamente porporcional a ciertos números y directa (o inversamente) proporcional a otros, basta hacerlo directamente proporcional al producto de los rpimeros por los segundos (o por su inverso).
Ejemplo:
En una empresa se reparte una prima especial por un total de $3.000.000, entre dos empleados cuyo trabajo permitió mayores ganancias. Si el reparto se hace en partes inversamente proporcionales a sus salarios mensuales que son $400.000 y $700.000, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Solución:
La cantidad total que se repartirá es $3.000.000. Como los salarios son $400.000 y $700.000, y están en relación 4 a 7, basta hacer la repartición en partes directamente proporcionales a \(\frac{1}{4}\, y \,\frac{1}{7}\). Como \(\frac{1}{4}=\frac{7}{28}\, y \,\frac{1}{7}\frac{4}{28}\). la repartición es directamente proporcional a 7 y 4. Determinando las proporciones correspondientes, hallamos lo que reciba cada empleado como prima especial.
Para el que gana $400.000: \(\frac{7}{11}=\frac{x}{3000000}\) recibe de prima especial $1.909.090.91
Para el que gana $700.000: \(\frac{4}{11}=\frac{x}{3000000}\) recibe de prima especial $1.090.909.10
PREGUNTA: Angélica, Bernardo y Camila han comprado una bicicleta para compartirla durante el mes. si los aportes fueron $50.000, $70.000 y $80.000 respectivamente, y ellos deciden usar la bicicleta un tiempo proporcional al dinero aportado, ¿cuántos días al mes la usará cada uno?