Fracción trigonométrica es toda expresión p(x)/q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios de funciones trigonométricas, con q(x) diferente de cero.
Una fracción trigonométrica se puede simplificar si su numerador y su denominador se pueden dividir entre un mismo termino.
Consideremos la fracción \(\frac{p(x).q(x)}{r(x).q(x)}\), en ella el polinomios q(x) es factor del numerador y del denominador luego es equivalente a \(\frac{p(x)}{r(x)}\)
Ejemplo:
Calcular \(\frac{3 sen^2x+2 sen\, sen y}{(9 sen^2 x-4 sen^2 y)}*\frac{15 sen x-10 sen y}{2 sen x}\)
Solución:
Factorizamos \(sen x\) en el numerador y la diferencia de cuadrados del denominador en la primera fracción.
\(\frac{sen x(3 sen x+2 sen y)}{(3 sen x-2 sen y)(3 sen x +2 sen y)}*\frac{5(3 sen x-2 sen y)}{2 sen x}\)
Luego:
\(\frac{(3 sen^2 x+2 sen x\, sen y)(15 sen x-10 sen y)}{(9 sen^2 x-4 sen^2x)2 sen x}=\frac{5}{2}\)
Ejemplo 2:
Encontrar la expresión simplificada de \(\frac{3 sen x}{5 sen y}\div\frac{9 sen^2 x}{20 sen^3 y}\)
Sabemos que dividir una fracción entre otra es equivalente a multiplicar la primera por el inverso multiplicativo de la segunda. Así, tenemos que:
\(\frac{3 sen x}{5 sen y}\div\frac{9 sen^2 x}{20 sen^3 y}=\frac{3 sen x}{5 sen y}*\frac{20 sen^3 y}{9 sen^2 x}\)
\(\frac{3 sen x}{5 sen y}*\frac{4(5 sen y) sen^2 y}{3(3 sen x)sen x}=\frac{4 sen^2 y}{3 sen x}\)
PREGUNTA: Simplificar \(\frac{1}{cos\ x-1}-\frac{1}{cos\ x+1}\)