10° MATEMÁTICAS

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio es un cuadrado perfecto si se pueden identificar las siguientes características:

• Dos de sus términos son cuadrados perfectos (Ubicarlos como primer y tercer término del trinomio)
• El otro término es el dos veces la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio \(sen^2 x+14 sen x+49\)

Solución:

Observamos que sus términos primero y tercero son cuadrados perfectos que se pueden expresar como las potencias: \(sen^2 x=(sen x)^2\) y \(49=7^2\)

El segundo término se puede escribir como dos veces la raíz cuadrada del primero por la raíz cuadrada del segundo: 

\(=2*\sqrt{49}*\sqrt{sen^2 x)}\)

\(2*7*sen x=14sen x\)

Luego: \(sen^2 x+14 sen x+49=(sen x+7)^2\)

Trinomio de la forma \([f(x)]^2 \pm b[f(x)] \pm c\)

Para factorizar un trinomio de la forma \([f(x)]^2 \pm b[f(x)] \pm c\) debemos hallar dos números tales que su producto sea \(\pm c\) y su suma sea \(\pm b\) en donde f(x) es una función trigonométrica.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio \(sen^2 x-5 sen x-24\)

Solución:

Hallamos los factores de \(-24\) que sumados den \(-5\):

\(1*(-24)=-24\,\, y\,\, 1 + (-24)=-23\)

\(2*(-12)=-24\,\, y\,\, 2+(-12)=-10\)

\(3*(-8)=-24\,\, y\,\, 3+(-8)=-5\)

\(4*(-6)=-24\,\, y\,\, 4+(-6)=-2\)

Luego: \(sen^2 x-5 sen x-24=(sen x+3)(sen x-8)\)

Trinomio de la forma \(a[f(x)]^2 + b[f(x)] + c\)

Para factorizar trinomios de la forma \(a[f(x)]^2 + b[f(x)] + c\) con f(x) una función trigonométrica, debemos hallar los factores de a y de c tales que al combinar sus productos den como resultado b. En la práctica, resulta más fácil aplicar el procedimiento que se describe en el ejemplo.

Ejemplo: 

Factorizar el trinomio \(2 sen^2 x-13 sen x+15\)

Solución:

Vemos que el primer término no es un cuadrado perfecto; pero si lo multiplicamos por \(2\), su producto \(4 sen^2 x\) es el cuadrado perfecto de \(2 sen x\). Sin embargo, si queremos hacerlo, debemos amplificar correctamente el trinomio. Como necesitamos convertir \(2 sen^2 x\) en un cuadrado perfecto, amplificamos por \(2\) el trinomio completo, y al mismo tiempo lo dividimos por ese número. Es decir:

\((2 sen^2 x -13 sen x+15)*\frac{2}{2}\)

\(=\frac{4 sen^2-13(2 sen x)+30}{2}\)

\(=\frac{(2 sen x)^2-13(2 sen x)+30}{2}\)

\(=\frac{(2 sen x-10)(2 sen x-3)}{2}\)

\(=\frac{2(sen x-5)(2 sen x -3)}{2}\)

Luego: \(2 sen^2 x-13 sen x+15=(sen x-5)(2 sen x-3)\)  

PREGUNTA: Factorizar el trinomio \(sen^2\ x+9sen\ x+20\)