REGLA DE L’HOPITAL
Dadas dos funciones f (x) y g (x) continuas y derivables en x=c , si f (x) y g (x) tienden ambas a cero o a infinito cuando x tiende a c , entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f (x) y g (x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito)
Expresado matemáticamente:
Si \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}\) ó
\(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}\)
Entonces aplicamos la regla de L’hopital:
\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Esto significa que tomamos numerador y denominador y derivamos por separado.
Ejemplo:
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{sen\ (x)}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^0-e^{-0}}{sen\ (0)}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{1-1}{0}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{0}{0}\)
Aplicamos la regla de L’hopital al límite original:
Derivamos tanto numerador como denominador
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-1)e^{-x}}{cos\ (x)}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}}{cos\ (x)}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^0+e^{-0}}{cos\ (0)}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{1+1}{1}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{1}\)
\(\lim_{x \to 0}=2\)
PREGUNTA:
Dadas las funciones \(f(x)=cos(x)-1\) y \(g(x)=sen(x)+(x)cos(x)\) aplicar la regla de L'HOPITAL
¿el valor del límite es?: