CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Dada una curva definida por y=f(x), en cada punto de f(x) se puede analizar la posición relativa de la curva respecto de su tangente en una cercanía del punto.
Concavidad: Si la curva queda por encima de la tangente.
Convexidad : Si la curva queda por debajo de la tangente.
Punto inflexión: Si por un lado la curva queda por encima de la tangente y por el otro lado queda por debajo.
Supongamos que y=f(x) es una función definida en una cercanía del punto x=a y que existe la derivada f'(a). La tangente a y=f(x) en x=a es la recta y(x)=f(a)+(x-a)f'(a).
Si f(x) está definida en un entorno de x=a y admite, al menos, la segunda derivada f''(a), entonces se verifica:
· f''(a)>0 y=f(x) es cóncava para x=a
· f''(a)<0 y=f(x) es convexa para x=a
· f''(a)=0 y=f(x) tiene inflexión para x=a si \(f'''(a) \neq 0\)
( si f'''(a)=0, puede no haber inflexión en x=a).
PREGUNTA: Para la función \(f(x)=x^3-6x^2+9x-3\) se cumple que:
Nota: Recuerda el procedimiento para determinar los extremos relativos y compara los resultados de la segunda derivada con el planteamiento visto en ésta lección.