CRITERIO DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA
En la lección anterior vimos el procedimiento para determinar los mínimos y máximos relativos de una función.
Ahora conceptualizaremos los teoremas que se pueden utilizar para determinar éstos mínimos y máximos relativos.
Se llama Criterio de la primera derivada al método utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c .
Teorema valor máximo y mínimo
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto que contiene a \(c\). Si \(f\) es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces (c) puede clasificarse como sigue:
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
El Criterio de la segunda derivada
Es un método en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c , y f'(c) = 0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f .
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada.
PREGUNTA: Observando los procedimientos aplicados en las lecciones anteriores. Hemos basado los cálculos teniendo en cuenta los criterios de primera y segunda derivada.