11° MATEMÁTICAS

EXTREMOS RELATIVOS

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si \(f^{\prime}(a) = 0\)

2. Si \(f^{\prime\prime}(a) \neq 0\)

Máximos relativos :

Un máximo se encuentra en el punto de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. \(f^{\prime}(a) = 0\)

2. \(f^{\prime\prime}(a) < 0\)

Mínimos relativos:

Un mínimo se encuentra en el punto de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. \(f^{\prime}(a) = 0\)

2. \(f^{\prime\prime}(a) > 0\)

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EXTREMOS RELATIVOS

1. Hallar la primera derivada y sus raíces o ceros (Procedimiento de la lección 1). Los valores obtenidos serán los puntos críticos de la función.

2. Hallar la segunda derivada y remplazar los puntos críticos obtenidos. Si:

\(f^{\prime\prime}(a) < 0\) es un máximo relativo

\(f'^{\prime\prime}(a) > 0\) es un mínimorelativo

3. Remplazamos los puntos críticos en la función original para determinar el punto (x,y) en donde se encuentran los valores máximos y mínimos.

Se expresan de la forma: (punto crítico, f(a))

EJERCICIO:

Determinar los extremos relativos de la función \(f(x)=8x^3-6x^2+7\)

1. Hallar la primera derivada y sus raices o ceros (Procedimiento de la lección 1). Los valores obtenidos serán los puntos críticos de la función.

\(f^{\prime}(x)=24x^2-12x\)

\(f^{\prime}(x)=12x(2x-1)\)

12x(2x-1)=0

12x=0   \(x=0/12\)  x=0

2x-1=0  2x=1    \(x=\frac{1}{2}\)

Los puntos críticos son x=0  y  \(x=\frac{1}{2}\)

2. Hallar la segunda derivada y remplazar los puntos críticos obtenidos.

\(f^{\prime}(x)=24x^2-12x\)

\(f^{\prime\prime}(x)=48x-12\)

Remplazamos x=0

\(f^{\prime\prime}(0)=48(0)-12\)

\(f{\prime}(0)=-12\) entonces \(-12<0\) decimos que existe un MÁXIMO RELATIVO EN 0.

Remplazamos \(x=\frac{1}{2}\)

\(f^{\prime\prime}(\frac{1}{2})=48\frac{1}{2}-12\)

\(f^{\prime\prime}(\frac{1}{2})=12\) entonces 12>0 decimos que existe un MÍNIMO RELATIVO EN \(\frac{1}{2}\).

3. Remplazamos los puntos críticos en la función original para determinar el punto (x,y) en donde se encuentran los valores máximos y mínimos. Se expresan de la forma: (punto crítico, f(a))

\(f(x)=8x^3-6x^2+7\)

\(f(0)=8(0)^3-6(0)x^2+7\)

f(0)=7

(0,7) SE ENCUENTRA EL MÁXIMO RELATIVO

\(f(x)=8x^3-6x^2+7\)

\(f(\frac{1}{2})=8(\frac{1}{2})^3-6(\frac{1}{2})^2+7\)

\(f(\frac{1}{2})=\frac{13}{2}\)

\((\frac{1}{2},\frac{13}{2})\) SE ENCUENTRA EL MÍNIMO RELATIVO

PREGUNTA: La función \(y=cos(x)\) tiene un mínimo relativo en el intervalo \([0.2,\pi]\) en el punto: