OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Existe una amplia variedad de problemas y aplicaciones en donde podemos aplicar el uso de las derivadas.
En varias ocasiones nos encontramos que se requiere encontrar un área mínima o máxima, costos máximos o mínimos, máximos beneficios, etc.
Este tipo de enunciados se pueden enmarcar dentro de la denominación OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES.
En esta unidad aprendimos a determinar máximos y mínimos de una función. Llegó la hora de poner en práctica estos conceptos aplicados a problemas de la vida real.
PROCEDIMIENTO PARA OPTIMIZAR FUNCIONES
Para optimizar una función debemos seguir los siguientes pasos:
Ejemplo:
Se desea construir una caja cúbica sin tapa de \(500cm^2\) de área y cuya capacidad sea la máxima posible. Cuáles deben ser las dimensiones y el volumen de la caja.
1. Leer el problema las veces que sea necesario para comprender su enunciado.
Como la caja debe ser cúbica la medida de cada lado de la base debe ser la misma. Llamaremos x a esta medida del lado de la base.
La altura de la caja la llamaremos h.
2. Hacer un dibujo o gráfica que permita interpretar el problema planteado definiendo las variables a utilizar y las constantes que se conocen.
3. Identificar la variable que solicitan maximizar o minimizar.
Capacidad sea la máxima posible: Significa el máximo volumen. Llamaremos al volumen de la caja V.
4. Escribir una ecuación que involucre una sola variable en función de la que se desea conocer, o escriba dos ecuaciones con dos incógnitas, según el caso.
Como el área es la misma superficie, es decir \(A=500cm^2\)
Como vemos en la gráfica la caja se compone de:
1 base inferior. 1 base superior, y cuatro lados. Como el ejercicio nos indica que la caja no tiene tapa omitimos la base superior, y planteamos:
Base inferior= \(x*x\)
1 lado= \(x*h\) por tanto los 4 lados serían: \(4*x*h\)
POR TANTO EL ÁREA SERÁ:
\(A=x^2+4xh\)
\(500cm^2=x^2+4xh\) Ecuación 1
TAMBIÉN SABEMOS CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUBO:
V=Base*altura
\(V=x^2*h\) Ecuación 2
5. Derivar la ecuación a maximizar o minimizar determinada en el punto anterior.
Como la ecuación es V, pero tiene dos incógnitas, debemos dejarla en función de una sola variable.
Para ello despejamos h de la ecuación 1 y remplazamos en la ecuación 2.
\(500cm^2=x^2+4xh\)
\(h=\frac{500cm^2-x^2}{4x}\)
\(V=x^2*h\)
\(V=x^2\frac{500cm^2-x^2}{4x}\)
\(V=\frac{500x^2-x^4}{4x}\)
\(V=125x-\frac{x^3}{4}\)
\(V ' =125-\frac{3x^2}{4}\)
\(V ' =-\frac{3x^2}{4}+125\)
6. Igualar a cero la primera derivada hallada en el punto anterior para hallar los puntos críticos o ceros de la ecuación.
\(-\frac{3x^2}{4}+125=0\)
Como es una ecuación cuadrática aplicamos la fórmula para encontrar las raíces o ceros de la función:
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-(4)*(-\frac{3}{4})(125)}}{2(-\frac{3}{4})}\)
\(x_1=\frac{\sqrt{375}}{-\frac{3}{2}}\)
\(x_1=-12.9\) No existen longitudes negativas, por lo tanto se descarta este valor.
\(x_2=\frac{-\sqrt{375}}{-\frac{3}{2}}\)
x_2=12.9cm Ya tenemos la longitud de los lados de la base.
\(h=\frac{500cm^2-(12.9)^2}{4(12.9)}\)
h=6.46cm Este es la altura de la caja.
Finalmente obtenemos el volumen:
\(V=(12.9cm)^2*6.46\)
\(V=1075.8cm^3\) Esta es la máxima capacidad que puede tener una caja de \(500cm^2\) de área.
PREGUNTA: Hallar las dimensiones de una caja de base cuadrada sin tapa, cuya superficie sea de \(300cm^2\) y que tenga la mayor capacidad posible.
Sugerencia: Si la altura de la caja fuese h y la longitud de los lados de la base fuese x su volumen seria \(V=x^2h\) y su área superficial seria \(300=x^2+4xh\) Utilice esta información para despejar una de las variables y optimizar la función del volumen.)