11° MATEMÁTICAS

REGLA DE LA CADENA O DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

La regla de la cadena se utiliza cuando queremos derivar una composición de funciones.

Si f es diferenciable en x y g es una función diferenciable en f(x), entonces la función \((f\circle g)(x)=f(g(x))\) es diferenciable en x.

Matemáticamente se describe:

\((f\circle g) ' =(f '\circle g)g'\)

Ejemplo 1: Derivar la función \(y=(x^2+3)^2\)

Debemos diferenciar siempre la operación más EXTERNA de la función (función elevada al cuadrado):

(f(x)) ²

(x ² +3) ²

y la operación más interna de la función (adición de términos):

( x ² +3 ) ²

1. Primero desarrollamos la derivada de la operación más externa que afecta la función, en este caso derivada de una potencia:

2 (x ² +3) ¹

2 (x ² +3)

2. Desarrollamos la derivada interna y multiplicamos a la derivada externa, en este caso suma términos variable con potencia y término independiente:

y '= 2(x ² +3)( 2x+0 )

3. Expresamos el resultado realizando las operaciones pertinentes.

y '= \(4x^3+12x\)

Ejemplo 2: Derivar la función \(y=Tan^3(x)\)

Expresemos la función de una forma más entendible e identificable:

\(y=(Tan\ (x))^3\)

Ahora comencemos la aplicación de la regla de la cadena:

1. Primero desarrollamos la derivada de la operación más externa que afecta la función, en este caso derivada de una potencia:

3 (Tan(x))²

2. Desarrollamos la derivada interna y multiplicamos a la derivada externa, en este caso suma términos variable con potencia y término independiente:

3(Tan(x)) ² * sec^2(x)

3. Expresamos el resultado realizando las operaciones pertinentes.

\(y '= 3(Tan^2(x))*sec^2(x)\) 

Vídeo para profundizar: