DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Recordemos las funciones trigonométricas inversas: arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante y arco cosecante.
Ejemplo explicativo:
Ya que Sen 30°= 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es decir, arc sen 0.5 = 30°.
Ahora veamos cómo se escriben matemáticamente y veamos su derivada.
FUNCIÓN TRIGONOMETRICA
FUNCIÓN INVERSA
EXPRESION
DERIVADA
Sen (x)
\(Sen^{-1}\ (x)\)
\(arcsen\ (x)\)
\(f' (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Cos (x)
\(Cos^{-1}\ (x)\)
\(arccos\ (x)\)
\(f' (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Tan (x)
\(Tan^{-1}\ (x)\)
\(arctan\ (x)\)
\(f' (x)=\frac{1}{1+x^2}\)
Ctg (x)
\(Ctg^{-1}\ (x)\)
\(arcctg\ (x)\)
\(f' (x)=\frac{-1}{1+x^2}\)
Sec (x)
\(Sec^{-1}\ (x)\)
\(arcsec\ (x)\)
\(f' (x)=\frac{1}{x\ \sqrt{x^2-1}}\)
Csc (x)
\(Csc^{-1}\ (x)\)
\(arccsc\ (x)\)
\(f' (x)=\frac{-1}{x\ \sqrt{x^2-1}}\)
Ejemplo: Hallar la derivada de la función \(y=(arcsen\ (x))x^2\)
1. Notemos que hay un producto y podemos expresarlo en forma más entendible como \(y=(arcsen\ (x))*x^2\)
2. Aplicamos la derivada básica para solucionar un producto de funciones.
\(y= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}*x^2\ +\ (arcsen\ (x))*2x\)
3. Organizamos términos:
4. \(y= \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ +\ 2x\ arcsen\ (x)\)
Vídeo para profundizar:
PREGUNTA: La derivada de \(y=(x+1)(arctan\ (x))\) es: