En ocasiones se necesitan más de dos incógnitas para poder expresar, en el lenguaje algebraico, situaciones de la vida real. Analicemos el siguiente problema.
Para resolver sistemas de tres ecuaciones, debemos convertirlo en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo cual, se sigue el siguiente procedimiento del ejemplo:
Ejemplo 1: Resolver el sistema: \(\displaystyle {\left { {2x+3y+z=-7\atop 3x+2y-2z=13\\x-2y+z=-6\)
Para convertirlo en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se sigue el siguiente procedimiento:
1) Multiplicamos por 2 la primera ecuación y la sumamos a la segunda, eliminando z:
\(4x+6y+2z=-14\atop +\textrm\Large{(3x+2y-2z=13)}\over\Large 7x+8y=-1\)
2) Multiplicamos por \(-1\) la tercera ecuación y la sumamos a la primera, eliminando de nuevo z:
\(2x+3y+z=-7\atop +\textrm\Large{(-x+2y-z=6)}\over\Large x+5y=-1\)
3) Reunimos las ecuaciones resultantes y nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
\(\displaystyle {\left { {7x+8y=-1\atop x+5y=-1\)
Este sistema puede ser resuelto por cualquiera de los métodos anteriores. Utilizando sustitución, tenemos:
Sustituyendo en la segunda ecuación
\(x=-1-5y\)
Sustituyendo en la otra ecuación:
\(7(-1-5y)+8y=-1\)\(-7-35y+8y=-1\)\(-35y+8y=-1+7\)\(-27y=6\)\(y=\frac{6}{-27}\)\(y=-\frac{2}{9}\)
Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos el valor de \(x\):
\(x=-1-5y\)\(x=-1-5(-\frac{2}{9})\)\(x=-1+\frac{10}{9}\)\(x=\frac{1}{9}\)
4) Por ultimo, sustituyendo los valores de \(x\) y \(y\) en la primera ecuación del sistema de partida, obtenemos el valor de z
\(2x+3y+z=-7\)\(2(\frac{1}{9})+3(-\frac{2}{9})+z=-7\)\(\frac{2}{9}-\frac{6}{9}+z=-7\)\(-\frac{4}{9}+z=-7\)\(z=-7+\frac{4}{9}\)\(z=-\frac{59}{9}\)
La solución definitiva del sistema es, por tanto \((\frac{1}{9},\, -\frac{2}{9},\, -\frac{59}{9})\)
Ejemplo 2: Resolver el sistema: \(\displaystyle {\left { {5x+3y+4w=8200\textrm{(1)}\atop 4x+5y + 3w=7550\textrm{(2)}\\2x+1y+2w=3300\textrm{(3)}\)
Multiplicando la ecuación (1) por 4, la ecuación (2) por -5 y la ecuación (3) por -2, nos resultan las siguientes ecuaciones:
\(20x+12y+16w=32800\,(4)\) \(-20x-25y-15w=-37750\,(5)\) \(-4x-2y-4w=-6600\,(6)\)
\(20x+12y+16w=32800\,(4)\)
\(-20x-25y-15w=-37750\,(5)\)
\(-4x-2y-4w=-6600\,(6)\)
Si sumamos las ecuaciones (4) y (5) y también las ecuaciones (2) y (6), se elimina la incógnita x; veamos:
\(20x+12y+16w=32800\atop\Large -20x-25y-15w=-37750\over\Large 0x-13y+1w=-4950\textrm{(7)}\) \(4x+5y+3w=7550\atop\Large -4x-2y-4w=-6600\over\Large 0x+3y-1w=950\textrm{(8)}\)
Sumando las ecuaciones (7) y (8) se elimina la incógnita w:
\(-13y+1w=-4950\atop\Large 3y-1w=950\over\Large -10y+0w=-4000\) \(-10y=-4000\) \(y=400\)
\(-13y+1w=-4950\atop\Large 3y-1w=950\over\Large -10y+0w=-4000\)
\(-10y=-4000\)
\(y=400\)
Remplazando el valor 400 para y en la ecuación (8) tenemos:
\(3(400)-w=950\) \(1200-950=w\) \(250=w\)
\(3(400)-w=950\)
\(1200-950=w\)
\(250=w\)
Remplazando los valores de y “y” de w en alguna de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (3), podemos hallar el valor de x.
\(2x+y+2w=3300\) \(2x+400+2(250)=3300\)
\(2x+y+2w=3300\)
\(2x+400+2(250)=3300\)
Resolviendo las operaciones obtenemos el valor de x
\(2x+900=3300\) \(x=1200\)
\(2x+900=3300\)
\(x=1200\)
La solución del sistema es \((1200,\, 400,\, 250)\)
Verá en el siguiente vídeo un ejemplo práctico, para comprender mejor la lección:
Fuente del vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=2S9IJbQIqaE
PREGUNTA: Resolver el sistema: \(\displaystyle {\left { {8x+4y+z=6\atop 2x-3y+6z=17\\9x+y-3z=2\)