Existen numerosas situaciones de la vida real que dan lugar a la formulación de sistemas de ecuaciones, cuyo resultado no es un par de números enteros. En tal caso, la solución del sistema por el método gráfico no es muy exacta. Es necesario entonces recurrir a otros métodos para solucionar sistemas, entre ellos el de la sustitución, el cual estudiaremos a continuación.
Para solucionar sistemas de ecuaciones por sustitución realizamos los siguientes pasos.
Paso 1: Despejamos una de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones.
Paso 2: Sustituimos la expresión hallada, en el paso anterior, en la otra ecuación del sistema y despejamos la incógnita.
Paso 3: Remplazamos el resultado que encontramos en el paso 2 en la ecuación del paso 1 y hallamos el valor correspondiente a la otra incógnita.
Paso 4: Verificamos los valores encontrados para las incógnitas remplazándolas en cada ecuación.
Ejemplo:
Resolvamos por el método de sustitución, el sistema de ecuaciones:
\(\displaystyle {\left{ {3x+4y = 18\textrm{(1)}\atop 2x-5y= -11\textrm{(2)}\)
Paso 1. Despejamos a x de la ecuación (2)
\(2x-5y=-11\) \(2x=-11+5y\) \(x=-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}y\textrm{(3)}\)
\(2x-5y=-11\)
\(2x=-11+5y\)
\(x=-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}y\textrm{(3)}\)
Paso 2. Sustituimos la expresión de x en la ecuación (1)
\(3[-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}y]+4y=18\) Resolvemos las operaciones: \(-\frac{33}{2}+[\frac{15+8}{2}y]=18\) \(\frac{23}{2}y=18+\frac{33}{2}\) Despejamos el valor de \(y\): \(y=3\)
\(3[-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}y]+4y=18\)
Resolvemos las operaciones:
\(-\frac{33}{2}+[\frac{15+8}{2}y]=18\)
\(\frac{23}{2}y=18+\frac{33}{2}\)
Despejamos el valor de \(y\):
\(y=3\)
Paso 3. Sustituimos el valor de y en la ecuación (3)
\(x=-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}\textrm{(3)}\) \(x=-\frac{11}{2}+\frac{15}{2}\) Resolvemos las operaciones y simplificamos: \(x=2\)
\(x=-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}\textrm{(3)}\)
\(x=-\frac{11}{2}+\frac{15}{2}\)
Resolvemos las operaciones y simplificamos:
\(x=2\)
La solución del sistema es (2,3).
Paso 4. Verifiquemos la solución en cada ecuación del sistema original.
Ecuación (1)
Ecuación (2)
\(3x+4y=18\)
\(3(2)+4(3)=18\)
\(2(2)-5(3)=-11\)
\(6+12=18\)
\(4-15=-11\)
En el siguiente vídeo se muestra la explicación de un ejemplo resuelto por el método de sustitución:
Dirección url del vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o
PREGUNTA: El sistema \(\displaystyle {\left { {3x+5y=2\atop -6x-y=-4\) ¿su solución es?