8° MATEMÁTICAS

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGBRAICAS

Recordemos que para multiplicar fracciones númericas, se multiplican los numeradores para hallar el numerador del producto, y para obtener el denominador del producto se multiplican los denominadores.

Si \(a,\, b,\, c,\, y\, d\) son números reales con \(b\neq 0\) y \(d\neq 0\), entonces \(\frac{a}{b}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{ac}{bd}\)

Como la respuesta debe darse simplificada, es mejor factorizar tanto el numerador como el denominador, antes de multiplicar, para hacer las simplificaciones correspondientes.

Ejemplo 1:

¿Cuál es el producto entre \([\frac{x^2+4x-21}{x^2-6x-16}]\, y\, [\frac{x^2-11x+24}{x^2+9x+14}]\)?

Solución:

Factorizamos los trinomios que conforman cada fracción algebraica:

\([\frac{x^2+4x-21}{x^2-6x-16}]\cdot{[\frac{x^2-11x+24}{x^2+9x+14}]}\)

\(=\frac{(x+7)(x-3)}{(x-8)(x+2)}\cdot{\frac{(x-3)(x-8)}{(x+7)(x+2)}}\)

Simplificación de factores comunes

\(=\frac{(x-3)^2}{(x+2)^2}\) Multiplicación de factores restantes

de nuevo, debemos recordar que \(x\neq 8,\, -2,\, -7\)

De aquí en adelante, asumiremos que los números que hacen cero al denominador de las fracciones, están excluidos del conjunto de números que pueden ser remplazados por la variable. Por tanto, no se dirá explícitamente cuáles son, pero sí debemos saber cómo determinarlos.

Para dividir dos fracciones se multiplica la fracción dividiendo por el recíproco de la fracción divisor.

Si \(a,\, b,\, c\, y\, d\) son números reales con \(b\neq 0,\, c\neq 0\, y\, d\neq 0\) entonces \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}={\frac{a}{b}}{\cdot}{\frac{d}{c}}\)

Recordemos que para multiplicar fracciones númericas, se multiplican los numeradores para hallar el numerador del producto, y para obtener el denominador del producto se multiplican los denominadores.

Si \(a,\, b,\, c,\, y\, d\) son números reales con \(b\neq 0\) y \(d\neq 0\), entonces \(\frac{a}{b}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{ac}{bd}\)

Como la respuesta debe darse simplificada, es mejor factorizar tanto el numerador como el denominador, antes de multiplicar, para hacer las simplificaciones correspondientes.

Ejemplo 2:

¿Cuál es el producto entre \([\frac{x^2+4x-21}{x^2-6x-16}]\, y\, [\frac{x^2-11x+24}{x^2+9x+14}]\)?

Solución:

Factorizamos los trinomios que conforman cada fracción algebraica:

\([\frac{x^2+4x-21}{x^2-6x-16}]\cdot{[\frac{x^2-11x+24}{x^2+9x+14}]}\)

\(=\frac{(x+7)(x-3)}{(x-8)(x+2)}\cdot{\frac{(x-3)(x-8)}{(x+7)(x+2)}}\)

Simplificación de factores comunes

\(=\frac{(x-3)^2}{(x+2)^2}\) Multiplicación de factores restantes

de nuevo, debemos recordar que \(x\neq 8,\, -2,\, -7\)

De aquí en adelante, asumiremos que los números que hacen cero al denominador de las fracciones, están excluidos del conjunto de números que pueden ser remplazados por la variable. Por tanto, no se dirá explícitamente cuáles son, pero sí debemos saber cómo determinarlos.

Para dividir dos fracciones se multiplica la fracción dividiendo por el recíproco de la fracción divisor.

Si \(a,\, b,\, c\, y\, d\) son números reales con \(b\neq 0,\, c\neq 0\, y\, d\neq 0\) entonces \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}\)

Para dividir fracciones algebraicas se usa la misma regla que en la multipicación.

Ejemplo 3:

Dividamos \([\frac{x^3-x^2-20x}{x^2+7x+12}]\div [\frac{x^2-10x+25}{x^2+6x+9}]\)

Solución:

Para dividir multiplicamos por el recíproco del divisor:

\([\frac{x^3-x^2-20x}{x^2+7x+12}\div [\frac{x^2-10x+25}{x^2+6x+9}]\)

\(=\frac{x(x-5)(x+4)}{(x+4)(x+3)}*\frac{(x+3)(x+3)}{(x-5)(x-5)}\) factorización de los polinomios

Simplificación de factores comunes

\(=\frac{x(x+3)}{(x-5)}\) Multiplicación de factores restantes.

Notemos que en los dos ejemplos anteriores, la respuesta se deja en forma factorizada. Esto ayuda a poder responder preguntas como: Cuándo la fracción es igual a cero o qué valores de la cariable hacen el denominador igual a cero.

PREGUNTA: Dividir \([\frac{2x^5-32x}{2x^3-50x}]\, \div \, [\frac{x^4-16}{x^2-11x+30}]\)