FUNCIONES COMPUESTAS
Si \(f\) y \(g\) son dos funciones y el dominio de \(g\) esta contenido en el rango de \(f\), entonces la función compuesta de \(f\) y \(g\) se define como \(f\circ g=f[g(x)]\), donde el dominio de \(f\circ g\) es el subconjunto del dominio de f que contiene los valores para los que \(f\circ g\) está definida.
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR FUNCIÓN COMPUESTA
\(f\circ g=f[g(x)]\) se lee f compuesta g y para hallar la función compuesta \(f\circ g\) debemos:
1. Tomar la función \(f\) y reemplazar, en cada posición donde esté \(x\), por \(g(x)\).
Recordemos que el orden de la expresión nos indica cuál es la función que estará compuesta por la otra, así \(f\circ g\neq g\circ f\)
Ejercicio práctico 1:
Hallar la función compuesta \((f \circ g)(x)\) si \(f(x)=3x+5\) y \(g(x)=x^2-1\).
Tomamos la función \(f\) y reemplazamos, en cada posición donde esté \(x\), por \(g(x)\).
\(f(x)=3x+5\) y \(g(x)=x^2-1\)
\(f\circ g=f(x^2-1)\)
\(f\circ g=3[x^2-1]+5\)
\(f\circ g=3x^2-3+5\)
\(f\circ g=3x^2+2\)
Ejercicio práctico 2:
Hallar la función compuesta \((g \circ f)(x)\) si \(f(x)=3x+5\) y \(g(x)=x^2-1\).
Tomamos f(x) y lo reemplazamos en g
\((g \circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+5)\)
\(=(3x+5)^2-1=9x^2+30x+25-1\)
Por tanto:
\(g(f(x))=9x^2+30x+24\)
Ejercicio práctico 3:
Un grupo de obreros está construyendo una plaza en forma circular, la cual debe tener \(40\) metros de diámetro. Los ingenieros calcularon la relación entre el radio de la circunferencia y el tiempo que invierten en el trabajo por medio de la fórmula \(r=2t+4\)
¿calcular el tiempo que tárdara la firma constructora en terminar la obra?
Solución:
Sabemos que el área de una circunferencia se expresa en función del radio así:
\(A(r)=\pi r^2\)
pero el radio a su vez está dado en función del tiempo:
\(r(t)=2t+4\)
Ahora vamos a expresar el área de la plaza en términos del tiempo así:
\(A(r(t))=\pi (r(t))^2=\pi (2t+4)^2\)
Hemos hallado el área de dicha circunferencia en función del tiempo. Como el radio es de 20 m, se tiene:
\(A=\pi (20)^2=\pi (2t+4)^2\)
\((20)^2=(2t+4)^2\)
\(20=2t+4\)
entonces \(t=8\) unidades de tiempo
Luego: la firma constructora terminará la obra en \(8\) unidades de tiempo.
Observa que le área se halla aplicando dos funciones sucesivamente, \(r\) y después \(A\), y se dice que la función \(A(r(t))\) es la compuesta de \(A\) respecto de \(r\) y se nota así:
\(A(r(t))=(A\circ r)(t)\)
PREGUNTA: Si \(f(x)=3x+1\) y \(g(x)=2x+5\), calcular y comparar f(g(3)) y g(f(3))