10° MATEMÁTICAS

FUNCIÓN CÚBICA

Esta función es GENERALMENTE utilizada para relacionar VOLÚMENES en determinado espacio o tiempo.

Asimismo, podemos decir que algunos ejemplos prácticos serían la relación entre el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza para determinar la semanas de gestación del feto.

Otro ejemplo característico podría decir que seria el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de éstos y su tiempo de duración. Esta función cúbica se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y=a * x³+b * x²+c * x+d

donde a (distinto de 0), b , c y d son números reales.

La función definida por: y = f(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x³, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la siguiente figura

PROPIEDADES:

1. El dominio de la función es la recta real.
2. El recorrido de la función es la recta real.
3. La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
4. La función es continua en todo su dominio.
5. La función es siempre creciente.
6. La función no tiene asintotas.
7. La función tiene un punto de corte con el eje Y.
8. La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

En la siguiente tabla aparecen algunos valores de x y los correspondientes y de la función.

Observa que:

• El conjunto de todas las parejas ordenadas de la función \(f(x)=x^3\) determina una línea curva.
• Si rotamos dicha curva tomando como centro el origen (0,0) obtenemos una curva cuyas ramas coinciden con las de la curva original así:

1. El punto (1,1) coincide con el punto (-1,-1)
2. El punto (2,8) coincide con el punto (-2,-8)
3. El punto (-3,-27) coincide con el punto (3,27)
4. El punto (x,x^3) coincide con el punto(-x,-x^3)

• La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto al origen

Para hallar la gráfica de una función cúbica de la forma \(f(x)=a(x+h)^3+c\) se debe tener en cuenta que:

• Si a>0 la curva es creciente. Si a<0 la curva es decreciente
• Si -1<a<1, con a diferente de cero, las ramas de la curva tienden hacia el eje x.
• Si |a|>1, las ramas de la curva tienden hacia el eje y.
• Si h>0 la curva se traslada h unidades hacia la izquierda del origen (0,0)
• Si h<0 la curva se traslada h unidades hacia la derecha del origen (0,0)
• Si c>0 la curva se traslada h unidades hacia arriba del origen (0,0)
• Si c<0 la curva se traslada h unidades hacia abajo del origen (0,0)
• El eje de simetría de esta curva es el punto (-h,c)

Las funciones que pueden asociarse a ecuaciones de la forma \(y=ax^3+bx^2+d\) las llamamos funciones cúbicas generales.

PREGUNTA: ¿La función \(y=\frac{x^5}{5x^4}+\frac{12x^6}{6x^2}\) es cúbica?