8° MATEMÁTICAS

FACTOR COMÚN

Cuando se multiplica dos o más números para formar un producto, cada número se llama factor del producto. Recordemos que la palabra factor está ligada a la operación multiplicación.

Para determinar todos los factores enteros de un número, se usa la descomposición en factores primos del número y con estos se construye un diagrama de árbol, como se muestra en el esquema de la figura. El producto de los números en cada rama es un factor del número original.

Para determinar factores que no sean enteros se divide el entero por cualquier número diferente de cero. Entonces el cociente y el divisor son factores del entero. Por ejemplo, factores de 12 son \(\frac{3}{2}\) y 8, ya que \(12\div 8=\frac{3}{2}\), es decir \(12=8\cdot{\frac{3}{2}}\)

Ejemplo:

Se quiere entapetar una oficina de 4 m por 5 m usando dos piezas rectangulares de alfombra; una de ellas tiene \(12\, m^2\) de área y la otra \(8\, m^2\). ¿Puede hacerse sin cortar las piezas?

Como veremos, para responder esta pregunta necesitamos más información. El área de la primera pieza de tapete es \(12\, m^2\), pero puede tener varias formas. Por ejemplo:

Esto se debe a que 12, \(\frac{3}{2}\) y 3 son algunos de los factores de 12.

Para poder usar los dos pedazos de alfombra sin cortarlos, uno de los lados de cada rectángulo debe tener igual medida. Como las dimensiones del piso son 4 m y 5 m, esos valores son las posibles medidas del lado común. Además, tomando en cuenta el área de los dos pedazos de alfombra, la medida común debe ser factor común de 8 y 12. Veamos

Para encontrar el máximo entero factor común de dos o más números enteros se escogen los factores primos comunes con el menor exponente con el cual aparecen en la descomposición en factores primos de cada número.

Ejemplo :

¿Cuál es el máximo factor común de 24 y 120?

Como \(24=2^3\cdot 3\, y\, 120=2^3\cdot 3\cdot 5\), entonces, el máximo factor común es \(2^3\cdot 3=24\)

Cuando queremos hallar factores comunes de monomios con coeficientes enteros, procedemos de igual forma. Escogemos, además de cada primo común de los coeficientes con el menor exponente.

El máximo factor común de dos o más monomios es el monomio factor común con el mayor coeficiente y mayor grado en cada variable.

Ejemplo:

¿Cuál es el máximo factor común de \(18x^2y^3z\, y\, 24x^4y^2z\)?

· Hacemos la descomposición en factores primos de 18 y 24 para determinar el máximo factor común de los coeficientes.

\(18=3^2\cdot 2\, y\, 24=2^3\cdot 3\)

Por tanto, el máximo factor común de 18 y 24 es \(2\cdot 3=6\)

· Ahora encontramos el mayor factor común de la parte literal de los monomios, es decir \(x^2y^3z\, y\, x^4y^2z\)

En este caso el mayor factor común es: \(x^2y^2z\)

· Por ultimo determinamos el mayor factor común de los monomios así: \(6x^2y^2z\)

Es importante saber cuál es el máximo factor común de dos o más monomios, porque nos ayuda a simplificar fracciones, cuyo numerador y denominador son monomios, o a expresar una suma algebraica de monomios como producto. Al máximo factor común se acostumbra llamarlo simplemente factor común.

Ejemplo:

Simplifiquemos la fracción \(\frac{72x^3yz^2}{120x^2z^4)\), donde \(x\neq 0\, y\, z\neq 0\).

· Descomponemos en factores primos los coeficientes: \(72=2^3\cdot 3^2\, y\, 120=2^3\cdot 3\cdot 5\). Determinamos el factor común : \(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2\)

Expresamos tanto el numerador como el denominador en forma de producto (factorizamos), en donde uno de los factores es el máximo factor común, esto es:

\(72x^3yz=(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(3xy)\, y\, 120x^2z^4=(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(5z^2)\)

· Finalmente simplificamos la fracción:

\(\frac{72x^3yz^2}{120x^2z^4}=\frac{(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(3xy)}{( 2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(5z^2)}=\frac{3xy}{5z^2}\)

Ejemplo 2:

Supongamos que tengamos tres rectángulos cuyas áreas son \(\frac{9}{2}x^3y^2,\, 6x^2y\, y\ 15x^3y^3\). Los tres rectángulos tienen un lado con la misma medida, la cual es el máximo monomio factor común de los monomios que denotan las áreas. ¡Cuales son las dimensiones del rectángulo que se obtiene al unir los tres rectángulos por el lado de medida común?

Antes de comenzar a resolver el problema, conviene expresar todos los números con un denominador común, para que en el monomio factor común se encuentren los fraccionarios:

\(6=\frac{12}{2}\, y\, 15=\frac{30}{2}\) ahora realicemos los siguientes pasos:

· Descomponemos en factores primos los numeradote:

\(9=3^2,\, 12=2^2\cdot 3\, y\, 30=2\cdot 3\cdot 5\)

· Determinamos el factor común: \(\frac{1}{2}(3)(x^2y)=\frac{3}{2}x^2y\)

· Factorizamos cada monomio:

\(\frac{9}{2}x^3y^2=(\frac{3}{2}x^2y)(3xy)\)

\(6x^2y=(\frac{3}{2}x^2y)(4)\)

\(15x^3y^3=(\frac{3}{2}x^2y)(10xy^2)\)

· Determinamos las dimensiones del rectángulo, como se ve en la figura.

Por tanto, las dimensiones de los lados del rectángulo son \(\frac{3}{2}x^2y\,\, y\,\, 3xy+4+10xy^2\)

Lo anterior indica que el área de ese rectángulo esta dada por:

\((\frac{3}{2}x^2y)(3xy+4+10xy^2)\). Esta ultima expresión es la factorización del polinomio \(\frac{9}{2}x^3y^2+6x^2y+15x^3y^3\), el cual corresponde a la suma de las áreas de los tres rectángulos.

Un polinomio se factoriza cuando se expresa como el producto de otros polinomios

Si el polinomio tiene coeficientes enteros, su factorización debe ser con polinomios de coeficientes enteros. Si el polinomio tiene coeficientes racionales, se factoriza inicialmente el numero racional correspondiente, para que el polinomio restante tenga coeficientes enteros. Para factorizar un polinomio se debe usar, como uno de los factores, el máximo monomio factor común de los monomios que conforman el polinomio y la propiedad distributiva.

Ejemplo:

Factorizar el siguiente polinomio \(0.8a^2bc^2-1.2a^3bc\)

El polinomio tiene coeficientes racionales, entonces:

· Factorizamos el numero racional correspondiente: \(0.1(8a^2bc^2-12a^3bc\)

· Descomponemos en factores primos los coeficientes: \(8=2^3\, y\, 12=2^2\cdot 3\)

· Determinamos el factor común: \(2^2a^2bc\).

· Factorizamos cada monomio: \(8a^2bc^2=(4a^2bc)(2c)\, y\, 12a^3bc=(4a^2bc)(3a)\)

· Factorizamos el polinomio: \(0.8a^2bc^2-1.2a^3bc=0.1(4a^2bc)(2c-3a)\)

Podemos comprobar si la factorización es correcta multiplicando los factores que resultan.

PREGUNTA: El factor común de: \(x^7+x^3\) es: