RECURSO SITIO WEB: Ejercicios resueltos con M.A.S.
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PROBLEMAS DEL M.A.S.
Enlaza con la página que contiene los enunciados de los problemas e imprímela. Trata de resolverlos. Si no sabes hacerlo consulta su resolución en esta página.
Problema 0
Puedes calcular la constante de un resorte colgando de él una masa y midiendo la elongación.
Ejemplo: Al colgar una masa de 100 g su longitud aumenta en 1 cm. Por lo tanto k = 100 N/ m.
Si desde esa posición tiramos hacia abajo, el alargamiento del resorte sólo va a influir en la amplitud de la oscilación, pero no influirá en el período, que viene determinado por la naturaleza del resorte reflejada en k y por la masa que le colgamos.
Problemas de Cinemática del MAS
Repasa las fórmulas, escríbelas en un cuaderno y fíjate cuáles son las magnitudes que relacionan cada una.
Problemas
1.- Una masa de 400 g unida a un resorte de k =100 N/m realiza un M.A.S. de amplitud 4 cm.
a) Escribe la ecuación de su posición en función del tiempo, si empezamos a contar cuando la soltamos desde la posición extrema.
b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la posición de equilibrio.
c) ¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de equilibrio a una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2 cm al extremo?
d) ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilación?
e) ¿Será cero la velocidad media de una oscilación completa?
Solución
a) La masa y la constante del resorte van a determinar la frecuencia de oscilación (período y pulsación).
Sustituyendo obtenemos: w =15,81 rad/s
x = 0,004·cos 15,81·t ; para t = 0 —> x = 4 cm
Podemos poner la función de la elongación en función del seno, si contemplamos un desfase de 90 grados. Por lo tanto, también podría escribirse: x = 0,004· sen (15,81·t + p/2)
b) Desde un extremo (donde la soltamos) hasta la posición de equilibrio tarda un cuarto de período. En este tiempo el punto que describe el movimiento circular auxiliar giró p/2.
Si w = 2p /T —> T = 0,4 s, por lo tanto tarda 0,1 s.
También podemos calcularlo usando el movimiento circular uniforme auxiliar, de velocidad angular "w", que en todo momento tiene una correspondencia con el M.A.S. asociado.
aplicando q = w· t —> p/2 = 15,81· t ——> t = 0,1 s.
c) Para calcular el tiempo que tarda en llegar a la posición 0,02 m, utilizamos la fórmula:
0,02 = 0,04 sen (15,81 ·t) ——> t = 0,033 s.
d) La velocidad no varía linealmente, por lo tanto la velocidad media no se puede hallar aplicando Vm =(Vo + Vf)/2, como haríamos en un caso como el de la gráfica siguiente (ecuación lineal).
En el M.A.S. la velocidad varía según una función seno que va no linealmente de cero al valor máximo.
Para hallar Vm tenemos que calcular la distancia recorrida y dividirla por el tiempo empleado.
Vm= D x / t
La distancia recorrida coincide con el área encerrada en la zona roja del gráfico velocidad -tiempo y es igual a la amplitud"A".
En este caso Vm= A / (T/4) = 0,04 /0,01 = 4 m/s
e) La velocidad media del ciclo total es igual a la hallada en el apartado anterior para un cuarto de período.
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Puedes calcularlo de otra forma: mirando el ángulo girado y usando q = w· t Para ir de O a M (medio camino) el movimiento auxiliar giró el ángulo a sen a = OM / OB = OM /OP = 0,5 —> a = 30º Para recorrer MP (la otra mitad) debe girar 60 º. Al ir a w = cte empleará más tiempo. |
El tiempo que tarda en llegar desde la posición de 2 cm hasta 4 cm (al extremo) es:
t ’= 0,1- 0,033 = 0,066 s
¡Emplea doble tiempo !
El punto que gira sobre la circunferencia acompañando al M.A.S, recorre 30º para que su proyección esté en la posición 2 cm, y debe girar otros 60º -el doble- para completar su giro y para que su proyección llegue hasta el extremo.
2.- Una partícula que oscila con M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s. Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa. a) Calcula estas velocidades. b) Escribe las ecuaciones de la posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando está en ese punto (3cm).
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Aplicamos la ecuación de la velocidad en función de la posición.
Al tener la expresión una raíz cuadrada se obtienen dos valores de la velocidad: v = ± 0,29 m/s. Para la misma posición: positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda. Si está en A y va hacia la derecha, suponemos desfase alfa y la ecuación da posición será: x = 0,1 sen (6,28/2 ·t + a) Se cumple que para t = 0 —> x = A Si avanza hacia el centro y parte de A, se cumple en todo momento que: x = 0,1 sen ((6,28/2) · t + b) En este caso también se puede poner: x = 0,1·sen((6,28/2)·t + p/2 +a) = 0,1·cos( (6,28/2)· t + a) |
3.-Una partícula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a – 40x (N), estando x expresada en metros. Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen, con una velocidad de 15 m/s dirigida hacia el centro, calcula:
a) La amplitud del movimiento. En primer lugar debemos ordenar los datos mientras los memorizamos, expresarlos en el S.I. y hacer un esquema. Esto va a evitar que utilicemos unidades inadecuadas cuando las substituyamos en las fórmulas.
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m =10 Kg F= - 40x N x0= 5 m v0= 15 m/s
Aplicamos las fórmulas que relacionan los datos entre si: F = - 40x
F = m·a = - m w 2x
- 40x = - mw 2x ; 40 =10 w 2 ; w = 2 rad/s
La ecuación de la velocidad en función de la posición es:
b) Instante en que pasa por primera vez por el origen. El enunciado dice que inicialmente está a 5 m del origen y esto da lugar a dos posibilidades: que vaya hacia un extremo o que esté volviendo de él. El dato de la velocidad nos indica que vuelve hacia el centro. (Ojo, en el enunciado podían darnos un valor negativo de la velocidad). Podemos poner la fórmula de la posición partiendo del extremo (usando la expresión del coseno). Desde aquí llegará al centro cuando el desfase inicial más el ángulo girado sea p/ 2
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5 = 9cos(w ·0 + j 0) ; j 0= 0’98 rad (coseno en vez de seno puesto que el movimiento se dirige hacia el centro y para t = 0 —> x = A) Pasa por el origen cuando el ángulo girado (Q = w ·t + j 0) valgap /2 p /2 = ( 2t + 0’98 ) —> t = 0’29 s |
4.- Un objeto realiza un movimiento armónico simple. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidades es 6 m/s, mientras que si la distancia es de 5 cm, su velocidades es 2 m/s. Calcular la amplitud del movimiento.
| X1=0’03 m | V1=6 m/s | X2=0’05 m | V2=2 m/s |
5.- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm, pero al colgar de su extremo libre una masa de 1 Kg, su longitud es de 14 cm. ¿Cuál será la frecuencia de oscilación de esa masa, cuando se desplaza verticalmente fuera de la posición de equilibrio? Nota: tomar g = 9’8 m/s2.
Ordenamos los datos y los ponemos en el S.I.
No importa el valor del desplazamiento inicial para lanzar el movimiento ya que esto no va influir en la frecuencia de oscilación.
| L0= 0’08 m | m =1 Kg | L1= 0’14 m | g = 9’8 m/s |
Aplicamos las fórmulas:
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F = m·a F = K·x |
m·a = K·x |
1·9’8 = K·( 0’14 - 0’08 ) —> K = 163’33 N/m
6.- Un punto material de 25 g describe un M.A.S. de 10 cm de amplitud y período de 1 s. En el instante inicial la elongación es máxima. Calcular:
a) La velocidad máxima que pode alcanzar la citada masa.
| T = 1 s | m =0’025 Kg | A = 0’1 m | x (t0 ) = max = 0’1 m |
E = 2p / T = 2p rad
V, será máxima cuando x = 0.
v = 2·p·0,1 = 0,628 m/ s2
b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0’125 s. será:.
Problemas de dinámica y energía del M.A.S
Repasa las fórmulas, escríbelas en tu cuaderno y fíjate en las magnitudes que relacionan.
Recuerda:
Puedes hallar la K de un resorte aplicando la ley de Hooke: Estirando el resorte con pesos conocidos y midiendo la longitud del resorte estirado con una regla.
La constante del resorte y la masa que le colgamos para hacerlo oscilar, van a condicionar la frecuencia y el período de oscilación.
La fuerza con que estiras el resorte al lanzar la oscilación, solamente va a condicionar la amplitud (A).
Problemas
7-. La energía total de un cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3·10- 4 y la fuerza máxima que actúa sobre el es 1’5·10-2 N. Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60º, determinar:
a) La ecuación del movimiento de este cuerpo.
En primer lugar ordenamos los datos, hacemos un esquema del problema, y al mismo tiempo los memorizamos. Expresamos los datos en unidades del S.I. para evitar usar unidades inadecuadas cuando vayamos a sustituirlos en las fórmulas:
| ET= 3·10-4 J | FMAX= 1’5·10- 2 N | T = 2 s | j 0= 60º = p /3 rad |
Buscamos las fórmulas que relacionan los datos dados con los pedidos y substituimos sus valores:
ET= ½mv2 = ½kA2 = 3·10-4 J
FMAX= kA= 1’5·10-2 N
Dividimos miembro a miembro y obtenemos:
b) Su velocidad y aceleración para t = 0 7.
8.- De un resorte de k=1000 N/m cuelga una masa de 1 Kg. a) ¿Con qué fuerza debo tirar para lograr una fuerza recuperadora de 40 N? b) ¿Qué longitud estirará? c)¿Cuál es la amplitud del movimiento?.
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Al colgar la masa, el resorte se estira hasta A, por lo tanto: k·OA = m·g —> 1000· OA = 1·9,8 (suponemos g = 9’8 9’8 m/s2) OA = 0,01 m = 1 cm El peso nos ayuda a alcanzarla fuerza recuperadora de 40 N, en consecuencia sólo tenemos que tirar con una fuerza de 30 N. Frecup = Fracción + peso La elongación se mide desde el punto de equilibrio (A) por lo que la amplitud será de 3 cm. Solamente cuenta como fuerza recuperadora ejecutante del M.A.S. la que sobrepasa el peso. La oscilación tiene un punto de equilibrio, A, y en él la fuerza resultante y la aceleración tienen valor cero. |
9.- Un resorte de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando cuelga de él un objeto de 10 g. Calcular:
a) La fuerza con que debe tirarse del resorte para que al soltarlo haga 20 oscilaciones en 5 s. con una amplitud de 2 cm.
Con los datos iniciales en el S.I. hallamos T y a partir de ellos, la fuerza
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m = 0’01 Kg A = 0’02 m |
n = 20/5 = 4 Hz T = 1/n = 0’25 |
w = 2p / T = 8p
b) La energía total del sistema cuando el objeto está 0,5 cm por encima de su posición de equilibrio. (Se desprecia la energía potencial gravitatoria ligada a la masa que oscila).
La energía total se puede hallar aplicando las expresiones de la energía cinética máxima o de la potencial. Como la energía total se conserva siempre, la suma de la E. cinética más la E. potencial será igual en cualquier punto de la oscilación.
Ep= ½Kx2 = 1/2 mw 2A2 = ½·0’01·(8p )2· 0’022 = 1’26m J
Podemos calcular a energía cinética e a potencial cuando está a 0,5 cm y sumarlas, el resultado será el mismo. Veamos:
Ec= ½m·v2 = ½· 0’01·0’4872 = 1’186 mJ
Ep = ½Kx2 = ½·6’317·0’0052 = 0’079 mJ
ET= Ec + Ep=1’186 + 0’079 = 1’26 mJ
10.- Un cuerpo que tiene una masa de 50 g. describe un movimiento vibratorio armónico simple en el que su posición viene dada por x = A·cos Wt , a lo largo de un segmento BC de 20 cm de longitud. Si cada 3 s. realiza media vibración, calcular:
a) La fuerza recuperadora en el instante t =1 s
| m = 0’05 Kg | A = BC/2 = 0,1 m | T = 3·2 = 6 s |
X = Acosw t
Aplicando las fórmulas:
b)La energía cinética que posee la masa en el instante t = 0’5s es:
11-. Una partícula de 1 mg de masa ejecuta un movimiento oscilatorio armónico que puede expresarse por la ecuación: X = A· sen w t, siendo el periodo de 0’01 s. Cuando t = 8’4·10-4 s, su velocidad es v = 31’4 cm/s. Calcular: a) La amplitud del movimiento oscilatorio armónico, en metros. b) La energía total.
a) La amplitud del movimiento oscilatorio armónico, en metros es:
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T =0’01 s m = 10-6 Kg |
X = A·sen wt v(8’4·10- 4) = 0’314 m/s |
b) La energía total:.
12.- Una partícula describe un movimiento oscilatorio armónico simple, de modo que su aceleración máxima es de 18 m/s2ye su velocidad máxima 3 m/s. Hallar: a) La frecuencia de oscilación de la partícula. b) La amplitud del movimiento.
a) Frecuencia de oscilación de la partícula:
| amáx= 18 m/s2 | vmáx= 3 m/s |
b) La amplitud del movimiento
13.-Una masa de 2 g oscila con un período de p segundos y amplitud 4 cm. En el instante inicial la fase es de 45º. Cuando su elongación sea de 1 cm, hallar: a) La energía cinética de la partícula . b) Su energía potencial.
a) Energía cinética de la partícula.
Agrupamos los datos:
| T= p s | m = 0’002 Kg | q0= 45º = p/4 rad | A = 0’04 m | x = 0’01 m |
Aplicamos las correspondientes fórmulas:
b) Energía potencial
Nota) Si el resorte oscila en dirección vertical, podemos comparar la variación de la energía potencial gravitatoria frente a la variación de la energía potencial del resorte
La masa que oscila recorre la altura 2·A entre la posición más baja y la más alta y la variación de energía potencial será:
DEp = mgh = mg 2A = 0,002·9,8·2·0,04 = 0,00008 = 1,6·10 - 3 J
La variación de la energía potencial elástica:
DEp = 1/2 K A2= 0,004 ·0,0016 = 6,4·10 - 6 J
Por tanto es menor la E. potencial elástica y no se puede despreciar la E. potencial gravitatoria de la masa oscilante, en la conservación de la energía mecánica, si oscila verticalmente.