ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Dependiendo del eje de simetría de la parábola tenemos dos casos:
1. Con eje de simetría paralelo al eje x es de la forma:
\(y^2+Ay+Bx+C=0\) con \(A,B,C\in R\).
2. Con eje de simetría es paralelo al eje y, es de la forma:
\(x^2+Ax+By+C=0\) con \( A,B,C\in R\).
Partiendo de la ecuación canónica podemos llegar a al ecuación general desarrollando el binomio cuadrado perfecto y realizando las demás operaciones posibles, ordenamos e igualamos a 0.
Ejemplo práctico 1:
Expresar la ecuación \((x-2)^2=3(y+1)\) en forma general.
Solución:
1. Desarrollamos el binomio cuadrado perfecto:
\((x-2)^2=3(y+1)\)
\(x^2-4x+4=3y+3\)
2. Ordenamos términos e igualamos a 0.
\(x^2-3y-4x+4-3=0\)
\(x^2-3y-4x+1=0\)
Ejemplo práctico 2:
Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice es (1,-1) y su recta directriz es y=1
1. Graficamos en el plano cartesiano los valores dados:
2. Como la parábola siempre abre en dirección directriz hacia foco, identificamos que las ramas abren hacia el eje de y negativo.
Recordemos que p es la distancia del vértice a la directriz o del vértice al foco, tenemos que p=.
Así, su ecuación canónica será de la forma:
\((x-h)^2=-4p(y-k)\) y remplazamos conociendo V: (1,-1) y \(p=2\):
\((x-1)^2=-4*2(y+1)\)
\((x-1)^2=-8(y+1)\)
3. Desarrollamos el binomio cuadrado perfecto:
\(x^2-2x+1=-8y-8\)
4. Ordenamos términos e igualamos a 0:
\(x^2-2x+8y+1+8=0\)
\(x^2-2x+8y+9=0\)
Ejemplo 3:
Hallar las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la recta de la directriz, de la parábola dada por : \(y^2-8y-10x+36=0\)
Ordenamos la ecuación con el término cuadrático y su respectivo término lineal en el primer miembro; completamos el cuadrado y factorizamos, para determinar V y \(p\):
\(y^2-8y=10x-36\)
\(y^2-8y+16=10x-36+16=10x-20\)
\((y-4)^2=10(x-2)\)
Por lo que las coordenadas del vértice son V : (2,4).
Para determinar las coordendas del foco necesitamos el valor de p. Por la ecuación canónica sabemos que el foco está a p unidades a la derecha del vértice y también que \(10=4p,\, por tanto,\, p=\frac{5}{2}\)
Así, las coordenadas del foco son \(F\, :\, (2+\frac{5}{2},4)=\frac{9}{2},4)\)
Además, la ecuación de la recta directriz está determinada por \(p\) unidades a la izquierda de la abcisa del vértice:
\(x=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\)
Luego: V : (2,4), F : \((\frac{9}{2},4)\) y \(x=-\frac{1}{2}\) son los elementos pedidos.
Otra forma de encontrar los elementos de una parábola, es por medio de los resultados encontrados en la ecuación, como se desarrolla en el siguienete ejemplo.
Ejemplo 4:
Deteminar vértice, fofo, eje de simetría y recta directriz de la parábola dada por \(x^2+4x+20y-56=0\)
Sabemos que A=-2h, B=-4p y C=h²+4pk. Así tenemos que:
\(-2h=4,\, h=-2\)
\(-4p=20,\, p=-5\)
\(C=-56=(-2)^2+4(-5)k\)
\(-56=4-20k,\, -60=-20k,\, k=3\)
En consecuencia V : ( -2,3) y como p es negativo la curva abre sus ramas en el sentido negativo del eje y (nótese que el término cuadrático es x), de donde el foco es F : ( -2, 3 - 5) = (-2, -2); además la recta directriz está arriba del foco y su ecuación será x=k+p que, remplazando se llega a x=8.
Luego: el vértice es V : ( -2,3), el foco es F : ( -2,-2), la ecuación de la recta directriz es y=8 y el eje de simetría es x=-2.
En la gráfica podemos identificar los interceptos con el eje x, haciendo \(y=0\) en la ecuación inicial, para encontrar que \(x_1=-9,8\, y\, x_2=5,8\). Además el intercepto con el eje y, haciendo x=0 en la ecuación inicial, es y=2,8
PREGUNTA: ¿La expresión en forma canónica de la ecuación \(x^2+6x-5y+19=0\) es?
"Recuerda: El método de completación del cuadrado y factorización, para hallar la respuesta."