ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación general de la circunferencia de centro C: (h,k) y radio r es:
\(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
para \(A,B,C\in R\)
Para hallar la forma general de la circunferencia tomamos su ecuación canónica \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) y desarrollamos los cuadrados utilizando las fórmulas:
\((x+c)^2=x^2+2cx+c^2\)
\((x-c)^2=x^2-2cx+c^2\)
donde c es un número real.
Desarrollamos los cuadrados:
\(x^2-2xh+h2+y2-2yk+k^2=r^2\)
\(x^2+y^2-2xh-2yk+h^2+k^2-r^2=0\)
Y denotamos para \(A=-2h,\, B=-2k\, y\, C=h^2+k^2-r^2\), para obtener:
\(x^2+y^2+Ax+By+C=0\),
que es la ecuación general de la circunferencia, dada su ecuación general.
Para determinar el centro y radio de una circunferencia debemos transformar la ecuación general en ecuación canónica.
Ejemplo práctico:
Dada la ecuación \(x^2+y^2+6x-4y+12=0\)
a) Encontrar el centro y el radio
b) Expresar la ecuación en forma canónica
Solución:
1. Tomamos la ecuación general y agrupamos los términos de x y de y a un lado de la igualdad, y al otro lado de la igualdad el término independiente:
\(x^2+y^2+6x-4y+12=0\)
\((x^2+6x+?)+(y^2-4y+?)=-12\)
2. Completamos el tercer término del grupo de \(x\) y del grupo de \(y\), teniendo en cuenta que este tércer término se obtiene:
Para x: \((\frac{A}{2})^2\) teniendo en cuenta que A es el coeficiente de \(x\).
\((\frac{6}{2})^2\)=\(3^2\)
Para y: \((\frac{B}{2})^2\) teniendo en cuenta que B es el coeficiente de \(y\).
\((\frac{-4}{2})^2\)=\((-2)^2\)
3. Sumamos éstos términos a los dos lados de la igualdad para no alterar la ecuación.
\((x^2+6x+3^2)+(y^2-4y+(-2)^2)=-12+3^2+(-2)^2\)
4. Con el procedimiento anterior se completa el tercer término para escribir en forma de binomios cuadrados perfectos, ahora los expresamos:
\((x+3)^2+(y-2)^2=-12+9+4\)
\((x+3)^2+(y-2)^2=1\)
5. Ya podemos identificar el centro C=(-3,2) y el radio es r=\(sqrt{1}\)=1
La gráfica es:
PREGUNTA: La ecuación general de la circunferencia de centro (3.4) y radio 2 es: