DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UN PUNTO P DE UNA CIRCUNFERENCIA
Una recta es tangente a una circunferencia, si la distancia del centro a la recta es igual al radio.
La recta tangente es, por tanto,perpendicular al radio con el que tienen un punto en común. A este punto en el que se cortan la circunferencia y la tangente se le llama punto de convergencia.
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA EN EL PUNTO P
Podemos encontrar una fórmula que nos permita hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P. El centro de una circunferencia es (h,k) y encontraremos la ecuación de la tangente que pasa por P: (x0,y0).
1. Determinamos la pendiente de la recta que pasa por el centro y el punto P
\(m=\frac{y_0-k}{x_0-h}\), que es la pendiente del radio.
2. Como la tangente es perpendicular al radio, determinamos la pendiente de la tangente:
\(m=-(\frac{x_0-h}{y_0-k})=\frac{x_0-h}{k-y_0}\)
3. Por tanto, la ecuación de la tangente a la circunferencia en el punto P: (x0,y0) es:
\(y-y_0=\frac{x_0-h}{k-y_0}(x-x_0)\)
Ejemplo práctico 1:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
\((x-1)^2+(y+2)^2=13\) en el puntoP: (3,1)
Solución:
Por la información que nos da la ecuación de la circunferencia sabemos que el centro se encuentra en el punto (1,-2), y P: (3,1), entonces tenemos:
C: (1,-2)=(h,k)
P: (3,1)=(x_0,y_0)
Por lo tanto, sólo debemos remplazar en la ecuación:
\(y-1=\frac{3-1}{-2-1}(x-3)\)
\(y-1=\frac{2}{-3}(x-3)\)
\(y-1=-\frac{2}{3}(x-3)\)
\(y-1=-\frac{2}{3}x+2\)
\(y=-\frac{2}{3}x+2+1\)
\(y=-\frac{2}{3}x+3\) es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada.
Ejemplo práctico 2:
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P1: (6,2) y P2: (10,6) y cuyo centro está sobre la recta \(2y-x-6=0\)
Como los puntos P1 y P2 pertenecen a la circunferencia, entonces el centro equidista de ellos.
Sea C: (h,k) las coordenadas del centro de la circunferencia a encontrar.
Por lo tanto, estos dos puntos verifican que:
\(\sqrt{(6-h)^2+(2-k)^2}=\sqrt{(10-h)^2+(6-k)^2}\)
\(36-12h+h^2+4-4k+k^2=100-20h+h^2+36-12k+k^2\)
Simplificando se obtiene: \(8k+8h-96=0\)
Como el centro C: (h,k) está sobre la recta \(2y-x-6=0\), (h,k) es un punto (x,y) de la recta.
Por tanto, podemos decir que:
2k-h-6=0
Así, formamos un sistema de ecuaciones para obtener las coordenadas del centro de la circunferencia.
\(\displaystyle{\left { {8k+8h-96=0\atop 2k-h-6=0\)
de donde resulta: \(\displaystyle{\left { {h=6\atop k=6\)
Por lo tanto el centro C: (h,k) = C: (6,6)
El radio de esta circunferencia es la distancia de C: (6,6) a P1: (6,2), es decir:
\(\sqrt{(6-6)^2+(2-6)^2}=\sqrt{(-4)^2}=4\)
Luego: la ecuación de la circunferencia es:
\((x-6)^2+(y-6)^2=4^2\)
Esta ecuación también puede expresarse en la forma:
\(x^2+y^2-12x-12y+56=0\)
PREGUNTA: Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia. \((x-2)^2+(y-4)^2=26\) en el puntoP: (3,9)