10° MATEMÁTICAS

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Los puntos de intersección de una recta ax+by+c=0

y una circunferencia \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\),

están dados por la solución del sistema de ecuaciones:

\(\displaystyle{\left { {x^2+y^2+Ax+By+C=0\atop\Large ax+by+c=0\)

PROCEDIMIENTO PARA SOLUCIONAR EL SISTEMA DE ECUACIONES RECTA CIRCUNFERENCIA

1. Despejar la variable x o y de la ecuación lineal.

2. Remplazamos ese valor de x o y  obtenido de la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia.

Se obtiene así una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2+bx+c=0\) de la que podemos esperar uno de los siguientes eventos:

• El sistema tiene dos soluciones: La recta y la circunferencia se cortan en dos puntos y se dice que son secantes (la recta atraviesa la circunferencia).
• El sistema tiene una solución: La recta y la circunferencia tienen un único punto en común y se dice que son tagentes (La recta no atraviesa la circunferencia si no que la toca en un punto).
• El sistema carece de soluciones (reales), es decir, que tiene soluciones imaginarias: La recta y la circunferencia no tienen puntos en comunes (la recta está separada de la circunferencia, no se tocan ni se atraviesan).

Una solución es imaginaria cuando el valor no es representable en la recta numérica, es decir, no pertenece a los números reales, como por ejemplo una raíz cuadrada de un número negativo \(\sqrt {-n}\).

PROCEDIMIENTO PARA SOLUCIONAR LA ECUACIÓN CUADRÁTICA OBTENIDA

Para resolver la ecuación cuadrática y hallar los valores de los punto de corte:

1. Utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas:

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

donde,

a: Coeficiente de \(x^2\)

b: Coeficiente de x

c: Término independiente (Número real)

2. Los valores de x obtenidos de la solución se remplazan en cualquiera de las ecuaciones.

3. Se obtienen el punto o puntos de corte de la recta con la circunferencia. (Si la solución es imaginaria no hay corte)

Ejemplo práctico:

Hallar los puntos de intersección de la recta 2x-y-4=0

con la circunferencia \(x^2+y^2-4x-1=0\)

Solución:

1. Despejamos de la ecuación lineal la variable \(y\):

2x-y-4=0

-y=4-2x

y=-4+2x

y=2x-4

2. Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia:

\(x^2+y^2-4x-1=0\)

\(x^2+(2x-4)^2-4x-1=0\)

\(x^2+(4x^2-16x+16)-4x-1=0\)

\(5x^2-20x+15=0\)

Factorizamos dividiendo en 5:

\(x^2-4x+3=0\)

3. Resolvemos la ecuación cuadrática:

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Entonces: \(x^2-4x+3=0\)

a: 1     b: -4       c: 3

\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(1)(3)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm{2}}{2}\)

\(x_1=\frac{4+2}{2}\)

\(x_1=\frac{6}{2}\)  luego \(x_1=3\)

\(x_2=\frac{4-2}{2}\)

\(x_2=\frac{2}{2}\)  luego \(x_2=1\)

4. Reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones para obtener los puntos de corte de la recta con la circunferencia

2x-y-4=0 De esta ecuación ya habíamos despejado y

y=2x-4

Para \(x_1=3\)

y=2(3)-4

y=6-4

y=2  tenemos que el primer punto de corte es (3,2)

Para \(x_2=1\)

y=2(1)-4

y=2-4

y=-2  tenemos que el segudo punto de corte es (1,-2)

Como existen dos puntos de cortes significa que la recta y la circunferencia son secantes (la recta atraviesa la circunferencia).

Ejercicio de estudio: Por medio de este ejercicio puedes comprobar si has aprendido los conceptos y procedimientos propios de ésta lección. Este ejercicio no es calificable pero ayuda a tu preparación personal. Debes realizar el procedimiento y verificar que la solución presentada es la correcta.

Hallar los puntos de intersección de la recta y=x+1 con la circunferencia \(x^2+y^2-8x+12=0\)

Solución:

Las soluciones de la ecuación son imaginarias (es decir que aparecen raíces cuadradas de números negativos de la forma \(\sqrt -n\)) por tanto la recta y la circunferencia no se cortan.

PREGUNTA: Al desarrollar el siguiente ejercicio, entre la circunferencia  \(x^{2}+y^{2}-2x-3=0\) y la recta \(3x+y-5=0\). De esta intersección de una recta y una circunferencia se puede concluir que: