PARÁMETROS NECESARIOS PARA DETERMINAR LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia queda determinada si se presenta alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo práctico 1:
Hallar el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos P: (4,7), Q: (6,3) y R: (1,-2)
Solución:
Observamos que nos indica 3 puntos no alineados.
1. Reemplazamos cada uno de los puntos en la ecuación general de la circunferencia
\(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
P:(4,7)
\((4)^2+(7)^2+4(A)+7(B)+C=0\)
\(16+49+4(A)+7(B)+C=0\)
\(65+4(A)+7(B)+C=0\)
\(4A+7B+C=-65\)
Q:(6,3)
\((6)^2+(3)^2+6(A)+3(B)+C=0\)
\(36+9+6(A)+3(B)+C=0\)
\(45+6(A)+3(B)+C=0\)
\(6A+3B+C=-45\)
R:(1,-2)
\((1)^2+(-2)^2+1(A)-2(B)+C=0\)
\(1+4+1(A)-2(B)+C=0\)
\(5+1(A)-2(B)+C=0\)
\(1A-2B+C=-5\)
2. Las tres ecuaciones permiten formar un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas.
\(\displaystyle{\left { {4A+7B+C=-65\atop 6A+3B+C=-45\\ A-2B+C=-5\)
Recuerda como se soluciona este tipo de sistemas, con la siguiente explicación del tema de MATEMÁTICAS GRADO 9° UNIDAD 3 LECCIÓN 5.
de donde: A = -2; B = -6; C = -15
Para resolver sistemas de tres ecuaciones, debemos convertirlo en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo cual, se sigue el siguiente procedimiento del ejemplo:
Ejemplo 1.1: Resolver el sistema: \(\displaystyle {\left { {2x+3y+z=-7\atop 3x+2y-2z=13\\x-2y+z=-6\)
Para convertirlo en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se sigue el siguiente procedimiento:
1) Multiplicamos por 2 la primera ecuación y la sumamos a la segunda, eliminando z:
\(4x+6y+2z=-14\atop +\textrm\Large{(3x+2y-2z=13)}\over\Large 7x+8y=-1\)
2) Multiplicamos por \(-1\) la tercera ecuación y la sumamos a la primera, eliminando de nuevo z:
\(2x+3y+z=-7\atop +\textrm\Large{(-x+2y-z=6)}\over\Large x+5y=-1\)
3) Reunimos las ecuaciones resultantes y nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
\(\displaystyle {\left { {7x+8y=-1\atop x+5y=-1\)
Este sistema puede ser resuelto por cualquiera de los métodos anteriores. Utilizando sustitución, tenemos:
Sustituyendo en la segunda ecuación
x=-1-5y
Sustituyendo en la otra ecuación:
\(7(-1-5y)+8y=-1\)\(-7-35y+8y=-1\)\(-35y+8y=-1+7\)\(-27y=6\)\(y=\frac{6}{-27}\)\(y=-\frac{2}{9}\)
Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos el valor de x:
\(x=-1-5y\)\(x=-1-5(-\frac{2}{9})\)\(x=-1+\frac{10}{9}\)\(x=\frac{1}{9}\)
4) Por ultimo, sustituyendo los valores de x y y en la primera ecuación del sistema de partida, obtenemos el valor de z
\(2x+3y+z=-7\)\(2(\frac{1}{9})+3(-\frac{2}{9})+z=-7\)\(\frac{2}{9}-\frac{6}{9}+z=-7\)\(-\frac{4}{9}+z=-7\)\(z=-7+\frac{4}{9}\)\(z=-\frac{59}{9}\)
La solución definitiva del sistema es, por tanto \((\frac{1}{9},\, -\frac{2}{9},\, -\frac{59}{9})\)
Ejemplo 1.2: Resolver el sistema: \(\displaystyle {\left { {5x+3y+4w=8200\textrm{(1)}\atop 4x+5y + 3w=7550\textrm{(2)}\\2x+1y+2w=3300\textrm{(3)}\)
Multiplicando la ecuación (1) por 4, la ecuación (2) por -5 y la ecuación (3) por -2, nos resultan las siguientes ecuaciones:
\(20x+12y+16w=32800\,(4)\) \(-20x-25y-15w=-37750\,(5)\) \(-4x-2y-4w=-6600\,(6)\)
\(20x+12y+16w=32800\,(4)\)
\(-20x-25y-15w=-37750\,(5)\)
\(-4x-2y-4w=-6600\,(6)\)
Si sumamos las ecuaciones (4) y (5) y también las ecuaciones (2) y (6), se elimina la incógnita x; veamos:
\(20x+12y+16w=32800\atop\Large -20x-25y-15w=-37750\over\Large 0x-13y+1w=-4950\textrm{(7)}\) \(4x+5y+3w=7550\atop\Large -4x-2y-4w=-6600\over\Large 0x+3y-1w=950\textrm{(8)}\)
Sumando las ecuaciones (7) y (8) se elimina la incógnita w:
\(-13y+1w=-4950\atop\Large 3y-1w=950\over\Large -10y+0w=-4000\) \(-10y=-4000\) y=400
\(-13y+1w=-4950\atop\Large 3y-1w=950\over\Large -10y+0w=-4000\)
\(-10y=-4000\)
y=400
Remplazando el valor 400 para y en la ecuación (8) tenemos:
\(3(400)-w=950\) \(1200-950=w\) 250=w
\(3(400)-w=950\)
\(1200-950=w\)
250=w
Remplazando los valores de y “y” de w en alguna de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (3), podemos hallar el valor de x.
\(2x+y+2w=3300\) \(2x+400+2(250)=3300\)
\(2x+y+2w=3300\)
\(2x+400+2(250)=3300\)
Resolviendo las operaciones obtenemos el valor de x
\(2x+900=3300\) x=1200
\(2x+900=3300\)
x=1200
La solución del sistema es \((1200,\, 400,\, 250)\)
3. Conociendo éstos valores ya tenemos la ecuación general de la circunferencia remplazando A, B y C:
\(x^2+y^2-2x-6y-15=0\)
4. Para obtener el centro y el radio se debe expresar la ecuación en forma canónica siguiendo el mismo procedimiento que se mostró en la lección anterior.
Actividad de aprendizaje: Halla la ecuación canónica de ésta circunferencia partiendo de la ecuación general \(x^2+y^2-2x-6y-15=0\) y el procedimiento explicado en la lección anterior.
Y de esa forma determinamos que el centro y el radio de la circunferencia es C=\((1,3)\) y el radio r=\(\sqrt{25}\)=5
Ejemplo práctico 2:
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A: (-1,-1) y B: (5,7) y cuyo radio es 5.
Solución: Observamos que tenemos dos puntos y el radio.
1. Verificamos que los puntos A y B pertenecen a la ecuación
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), por lo tanto:
A:(-1,-1)
\((-1-h)^2+(-1-k)^2=5^2\) Resolvemos el binomio cuadrado:
\((-1)^2+2(-1)(-h)+(-h)^2+(-1)^2+2(-1)(-k)+(-k)^2=25\)
\(1+2h+h^2+1+2k+k^2=25\)
\(2h+h^2+2k+k^2+2=25\)
\(h^2+k^2+2h+2k=25-2\)
\(h^2+k^2+2h+2k=23\)
B:(5,7)
\((5-h)^2+(7-k)^2=25\) es decir
\(h^2+k^2-10h-14k=-49\)
2. Restamos las ecuaciones:
-
\(12h+16k=72\)
Simplificamos dividiendo por 4:
\(3h+4k=18\)
3. Buscamos valores enteros para h y k
\(3(2)+4(3)=18\)
\(6+12=18\)
18=18
Obtuvimos que son 2 y 3, respectivamente.
Luego: La ecuación canónica es \((x-2)^2+(y-3)^2=5^2\)
PREGUNTA: De la siguiente ecuación \(x^{2}+y^{2}+6x-14y-6=0\): determine su centro \(C(h,k)\) y su radio \(r\).