8° MATEMÁTICAS

RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES

El proceso que sirve para calcular la base cuando se conocen el exponente y la potencia, se llama radicación. La radicación es una de las dos operaciones inversas de la potenciación.

Observemos:

En esta notación el índice corresponde al exponente de la potencia, el subradical es la potencia y el resultado o raíz es la base. Por ello, tenemos la siguiente equivalencia:

\(7^3=343\Leftrightarrow\sqrt[3]{343}=7\) o, en general,

\(\Huge a^n=b\Leftrightarrow\sqrt[n]{b}=a\)

La raíz cuadrada positiva de un número real b positivo es el único número real a positivo que cumple a² = b. En tal caso se escribe: \(a=\sqrt{b}\). Existe un número negativo que elevado al cuadrado da b. Este se nota como \(-\sqrt{b}\)

La raíz cúbica de un número real b es un número real a que cumple a³=b; en tal caso se escribe: \(a=\sqrt[3]{b}\)

Una raíz n-ésima, de un número real b, es un número real a que cumple \(a^n=b\). En tal caso se escribe: \(a=\sqrt[n]{b}\), en donde n es un número natural.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

Los radicales podemos escribirlos como una potencia con exponente racional y les aplicamos las propiedades de los exponentes; de esta ,manera definimos las siguientes propiedades para los radicales.

si \(x,\, y\in\mathbb{R},\, m,\, n\in\mathbb{N}\)

1. \(\Huge \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}},\,\, x\geq 0\) para n par

2. \(\Huge \sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}\)

3. \(\Huge \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n*m]{x}\)

4. \(\Huge \sqrt[n]{x*y}=\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y}\)

5. \(\Huge \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}},\,\, y\neq 0\)

6. \(\Huge \sqrt[n]{a^n}=\mid a \mid\) para n par.

7. \(\Huge \sqrt[n]{a^n}=a\) para n impar.

De acuerdo con los resultados de la potenciación ya estudiados, la radicación se comporta tal como lo muestra la tabla.

Ejemplo:

Hallemos las raíces reales de:

La radicación cumple algunas propiedades que permiten agilizar el cálculo de raíces. Algunas se usan en los siguientes cálculos.

Simplifiquemos cada expresión.

a) \(\sqrt[3]{2*5^3}=\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{5^3}=\sqrt[3]{2}*5=5\sqrt[3]{2}\)

La radicación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división de números reales, es decir:

• \(\sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}\)
  
  
• \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\,\,\,\neq 0\)

Por otra parte, de acuerdo con la definición de radicación: para todo número real x positivo, \(\sqrt[n]{x^n}=x\)

Cuando se tiene una fracción con radicales, algunas veces es necesario expresarlo de modo que no aparezca una raíz de algún número en el númerador o en el denominador de ella. ¿Cómo proceder en tal caso para lograr ese resultado?. Veamos el siguiente ejemplo:

Expresemos la raíz \(\sqrt[3]{\frac{4*5^3}{9}}\) , de tal modo que no aparezcan raíces en el númerador.

Como \(4=2^2\) y la radicación se distribuye respecto a la multiplicación y a la división, la raíz se puede expresar como:

\(\sqrt[3]{\frac{2^2*5^3}{9}}=\frac{5*\sqrt[3]{2^2}}{\Large\sqrt[3]{9}}\)

Como no se quiere tener raíces en el numerador y para ello se debe tener \(2^3\) como cantidad bajo el radical, será necesario amplificar la fracción por \(\sqrt[3]{2}\). De esa manera queda:

\(=\frac{(5*\sqrt[3]{2^2})(\sqrt[3]{2})}{\Large{\sqrt[3]{9}*\sqrt[3]{2}}}\)

\(=\frac{5*\sqrt[3]{2^3}}{\Large{\sqrt[3]{18}}}=\frac{5*2}{\Large{\sqrt[3]{18}}}\)

\(=\frac{10}{\Large{\sqrt[3]{18}}}\)

Una fracción con radicales en alguno de sus términos o en ambos, puede reducirse a una fracción en la cual un término determinado no tenga radical. El procedimiento que permite lograrlo se llama racionalización.

Ejemplo:

Racionalizar el denominador de \(\frac{1}{\Large\sqrt{3}}\)

\(=\frac{1*\sqrt{3}}{\Large\sqrt{3}*\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Video de profundización: