Hasta el momento sabemos adicionar y sustraer números naturales, enteros y racionales. Como los números irracionales junto con los racionales conforman el conjunto de los números reales, para definir la operación de adición y la relación de orden en el conjunto de los números reales, se debe tener en cuenta la necesidad de que se sigan manteniendo los algoritmos y las propiedades de la adición y del orden aditivo en los racionales. Por tanto, se puede concluir:
La adición en el conjunto de los números reales cumple las mismas propiedades que cumple la adición en el conjunto de los números racionales.
Clausurativa: La suma de dos números reales es un número real.
si a y b son números reales, entonces (a + b) es un número real.
Asociativa: La suma de tres o más números reales no cambia si los sumandos son agrupados de maneras distintas.
si a, b y c son números reales, entonces (a + b) + c = a + (b + c).
Conmutativa: La suma de dos números reales no cambia si el orden en que se disponen los sumandos es diferente.
Si a y b son números reales, entonces a + b = b + a
Modulativa: Hay un elemento, llamado módulo de la adición del conjunto de los números reales, que al ser adicionado con otro número lo deja invariante.
Si a es un número real, existe 0, el módulo de la adición, que también es real, tal que \(a+0=a\) y \(0+a=a\).
Invertiva: Para cada elemento a del conjunto de los números reales hay otro elemento (-a), el opuesto de a, que adicionado con él da el módulo 0.
Si a es un número real, existe (-a) también real, tal que a + (-a) = 0
En los números reales, como en los racionales, la sustracción de dos números a y b significa realizar la adición a + (-b), es decir, para sustraer dos números reales se adiciona al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo:
Realizar las siguientes operaciones. Si es necesario, usemos las propiedades de la adición.
1) \(\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(=\frac{2+(-\sqrt{2})}{3}=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\)
2) \(\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-4+\sqrt{3}\)
\(=[2+(-4)]+[\sqrt{3}+(-\sqrt{3})]+\sqrt{3}\) \(=(-2+0)+\sqrt{3}\) \(=-2+\sqrt{3}\)
\(=[2+(-4)]+[\sqrt{3}+(-\sqrt{3})]+\sqrt{3}\)
\(=(-2+0)+\sqrt{3}\)
\(=-2+\sqrt{3}\)
3) \(\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}\)
\(=3\, veces\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)
Si decidimos trabajar con las aproximaciones decimales, la adición se efectúa como en los números decimales; sin embargo, es imposible pensar que podemos adicionar las cifras decimales de dos números con cifras decimales infinitas.
Las expresiones \(\frac{2-\sqrt{2}}{3},\, -2+\sqrt{3},\, 3\sqrt{5}\) entre otras, no pueden simplificarse más y son nombres para los números reales obtenidos. Es decir, no se acostumbra a escribir \(1+\sqrt{2}\) como \(1+1.414221356\cdots =2.41421356\cdots\) o a \(3\pi\) como \(3*3.14159265\cdots =9.42477796\cdots\), sino simplemente \(1+\sqrt{2}\) y \(3\pi\).
Ahora consideremos las igualdades:
\(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\) "y" \(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\)
Si adicionamos los términos a la izquierda del signo igual y los términos a la derecha del mismo, encontramos:
\([\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}]+[\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}]=\) "y" \([\frac{3+\sqrt{2}}{2}]+[\frac{1-\sqrt{2}}{2}]=\) \([\frac{3}{2}+\frac{1}{2}]+[\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}]=\) "y" \(\frac{(3+\sqrt{2})}{2}+\frac{(1-\sqrt{2})}{2}=\) \(\frac{4}{2}+\frac{0}{2}=\) "y" \(\frac{3+1+[\sqrt{2}+(-\sqrt{2})]}{2}=\) \(\frac{4}{2}=\) "y" \(\frac{(4+0)}{2}=\) \(\frac{4}{2}=2\) "y" \(\frac{4}{2}=2\)
\([\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}]+[\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}]=\) "y" \([\frac{3+\sqrt{2}}{2}]+[\frac{1-\sqrt{2}}{2}]=\)
\([\frac{3}{2}+\frac{1}{2}]+[\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}]=\) "y" \(\frac{(3+\sqrt{2})}{2}+\frac{(1-\sqrt{2})}{2}=\)
\(\frac{4}{2}+\frac{0}{2}=\) "y" \(\frac{3+1+[\sqrt{2}+(-\sqrt{2})]}{2}=\)
\(\frac{4}{2}=\) "y" \(\frac{(4+0)}{2}=\)
\(\frac{4}{2}=2\) "y" \(\frac{4}{2}=2\)
Es decir \(2=2\)
La adición de números reales se relaciona con la igualdad mediante la siguiente propiedad:
La adición (o sustracción) miembro a miembro de dos igualdades de números reales es otra igualdad.
Esta propiedad se puede considerar de la siguiente forma: si a cada miembro de una igualdad se adiciona el mismo número real, la igualdad se conserva.
Por otra parte, si representamos sobre la recta los números reales\(-1.3,\, \frac{2}{3},\, 4,\, -3.2,\,\sqrt{2},\, 0\, y \, 1+\sqrt{3}\), encontramos que se hallan ubicados de izquierda a derecha así:
Con el fin de conservar el orden aditivo de los números racionales podemos, en primer lugar, afirmar que como cada uno está a la izquierda del siguiente, entonces:
\(-3.2<-1.3<0<\frac{2}{3}<\sqrt{2}<\sqrt{3}<1+\sqrt{3}<4\)
Se observa que cada número está en el lugar de 0 (0 mismo), está a la derecha de 0 o está a la izquierda de 0. Los números que están a la derecha de 0 se llaman reales positivos, en tanto que están a la izquierda son reales negativos.
Los números reales mayores que 0 se llaman números reales positivos. Los números reales menores que 0 se llaman números reales negativos.
Además, observemos que:
\(-3.2<-1.3\) "y" -3.2 + 1.9 = -1.3 \(-1.3<\frac{2}{3}\) "y" \(-1.3+\frac{59}{30}=-\frac{13}{10}+\frac{59}{30}=\frac{2}{3}\) \(\sqrt{3}<\sqrt{3}+1\) "y" \(\sqrt{3}+1=\sqrt{3}+1\)
\(-3.2<-1.3\) "y" -3.2 + 1.9 = -1.3
\(-1.3<\frac{2}{3}\) "y" \(-1.3+\frac{59}{30}=-\frac{13}{10}+\frac{59}{30}=\frac{2}{3}\)
\(\sqrt{3}<\sqrt{3}+1\) "y" \(\sqrt{3}+1=\sqrt{3}+1\)
Concluimos que:
Un número real a es menor o igual que otro b, (y se escribe \(a\leq b\)), si es posible encontrar un número c real positivo o cero (un real no negativo), que sumado con a dé como resultado b.
Si a es menor o igual que b y \(a\neq b\), se dice que a es menor que b y se escribe a < b.
Si a y b dos números reales, entonces ocurre sólo una de las tres relaciones siguientes: a = b, a < b o a > b; en particular, si r es un número real, se cumple sólo una de las siguientes relaciones: r = 0, r < 0 o r > 0, que equivale a decir que un número real es 0, es positivo o es negativo.
Una expresión en la cual aparece una relación de orden como <, >, \(\leq\), \(\geq\) se llama desigualdad.
El orden entre números reales cumple otras propiedades, análogas a las enunciadas para la igualdad, que lo relacionan operativamente con la adición; consideremos las siguientes desigualdades: 2 < 5.3 "y" \(-1.3<\sqrt{3}\).
Si sumamos miembro a miembro las dos desigualdades, encontramos que se cumple la misma relación de orden entre las sumas, porque:
\(2+(-1.3)<5.3+\sqrt{3}\) \(0.7>6.032\cdots\)
\(2+(-1.3)<5.3+\sqrt{3}\)
\(0.7>6.032\cdots\)
Igualmente, si a la relación 2 < 5.3 le adicionamos la igualdad - 6 = - 6, encontramos que:
\(2+(-6)<5.3+(-6)\) \(-4<-0.7\)
\(2+(-6)<5.3+(-6)\)
\(-4<-0.7\)
El orden en los números reales se relaciona con la igualdad de ellos mediante la siguiente propiedad: si a cada miembro de una desigualdad se adiciona el mismo número real, la desigualdad se conserva.
Las dos propiedades anteriores se pueden resumir en la siguiente:
La adición miembro a miembro de dos desigualdades de números reales es otra desigualdad del mismo sentido.
PREGUNTA: ¿Los números negativos son menores que cero (0)?