CONJUNTOS
Las proposiciones compuestas nos ayudan a trabajar algunas operaciones entre conjuntos. Observemos:
¿Cuáles números naturales menores que 20 son múltiplos de 2 y de 5?
El diagrama de Venn de la figura nos ayuda a organizar la información que poseemos.
La circunferencia verde encierra los múltiplos de 2.
La circunferencia morada encierra los múltiplos de 5.
En la región común de los diagramas están los múltiplos de 2 y de 5 menores que 20: (0,10)
Estos elementos pertenecen a la intersección de los dos conjuntos.
De acuerdo con la figura, ¿cuántos números naturales menores que 20 son múltiplos de 2 o de 5?
En este caso los números encerrados por alguna de las dos circunferencias son los que buscamos. Los doce números están en la unión de los dos conjuntos: {0,2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18}.
Dados los conjuntos A y B, la intersección entre ellos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen, a la vez, a los dos conjuntos. Se simboliza \(A\) \(\tiny\cap\) \(B\)
La unión entre ellos es el conjunto formado por los elementos que se encuentran en alguno de los dos conjuntos. Se simboliza \(A\) \(\tiny\cup\) \(B\).
Las operaciones unión e intersección de conjuntos también nos ayudan en la resolución de problemas.
Ejemplo:
En una escuela de idiomas ofrecen cursos de inglés y de francés. En total hay 278 estudiantes. 175 del total toman cursos de inglés y 132 de francés. ¿cuántos alumnos toman ambos cursos?
Solución.
Si adicionamos los números citados, nos da una cantidad mayor 278, debido a que en el grupo de los 175 alumnos que toman clases de inglés, algunos de ellos también están tomando cursos de francés. Igual sucede con los 132 que están tomando clases de francés; en ese dato también hay alumnos que toman cursos de inglés. Eso significa que se han contado dos veces los alumnos que estudian ambos idiomas. Por tanto, debemos realizar una sustracción:
(175 + 132) - 278 = 29
Este resultado corresponde a los alumnos que toman ambos cursos. Examinemos el diagrama.
PREGUNTA: ¿Qué relación podemos concluir entre las operaciones de conjuntos y las proposiciones compuestas?