MÚLTIPLOS Y DIVISORES
El producto de dos o más números naturales es múltiplo de cada uno de ellos.
Se llama divisor de un número a aquel que cabe en él una cantidad de veces exacta.
Por ejemplo: Hallar los múltiplos de 36
\(36=6\times6\)
\(36 =2^2\times3^2\)
Es visible que los divisores de 36 son 6, 2 y 3, pero, para hallar todos los divisores de 36, se obtiene multiplicando dos o tres de los números que aparecen en la descomposición en factores primos de 36.
Entonces, los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. 36 es múltiplo de cada uno de sus divisores. por ejemplo 36 es múltiplo de 18 porque \(36 =18\times2\).
Máximo Común Divisor (m.c.d)
Se llama máximo común divisor de varios números al mayor de los divisores comunes a dichos números.
Ejemplo:
Como se puede observar en la tabla el mayor divisor de 28 y 42 es 14, por tanto es el Máximo Común Divisor .
El máximo común divisor de varios números también se halla descomponiendo cada número en factores primos y multiplicando los factores comunes con menor exponente.
Este método se ilustra con el siguiente esquema:
\(2\times2\times3 = 12\), por tanto el m.c.d. de 72, 300 y 252 es 12, los números 6, 25 y 21 no tienen factor primo común, razón por la cual el proceso termina aquí.
Mínimo Múltiplo Común (m.c.m)
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común.
Como se puede observar en la tabla el menor múltiplo de 4 y 6, es 12.
El m.c.m. se puede hallar usando la descomposición en factores primos de cada número.
Factor común: 3
Factores no comunes: \(5\) y \(2^2\)
m.c.m. ( 15, 12 ) = \(3\times5\times2^2=60\)
En donde, el m.c.m. de dos o más números se encuentra multiplicando los factores primos comunes y no comunes.
Otra forma para hallar el mínimo múltiplo común es con el siguiente diagrama:
m.c.m. (90, 54, 72) = \(2^3\times3^3\times5\)
= \(1080\)
En la descomposición anterior se utilizan los números primos que dividen a todos los números de cada fila o por lo menos a alguno de ellos, hasta cuando se obtiene 1 en las distintas columnas.
PREGUNTA: ¿Cuál es el m.c.m. de 6, 15, 42?