La multiplicación en los números reales se define teniendo en cuenta que se mantengan las propiedades de la multiplicación en los racionales como hasta ahora, puesto que el conjunto de los números racionales es un subconjunto del conjunto de los números reales. Por tanto, se puede concluir:
La multiplicación en el conjunto de los números reales cumple las mismas propiedades que la multiplicación en el conjunto de los números racionales.
Propiedades de la multiplicación en los números reales
Clausurativa: El producto de dos números reales es un número real.
Si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \(a \time b\) es un número real.
Asociativa: El producto de dos números reales no cambia si el orden en que se disponen los factores es diferente.El producto de tres o más números reales no cambia si los factores son agrupados de distintas maneras. Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, entonces \((a \time b) \time c = a \time (b \time c)\)
Conmutativa:Si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \(a \time b = b \time a\)
Modulativa:Si \(a\) es un número real, existe \(1\), el módulo de la multiplicación, que también es real, tal que \(a \time 1 = a\) “y” \(1 \time a = a\).
Invertiva:Si \(a\) es un número real y \(a\neq 0\), existe \(\left (\frac{1}{a} \right )\) también real, tal que \(a\time (\frac{1}{a})=1\)
Hay una propiedad que relaciona la multiplicación con la adición de los números; es la propiedad siguiente:
Distributiva:Para multiplicar un número real a por la adición de otros se multiplica el factor a por cada uno de los sumandos y luego se adicionan los productos. Este proceso se cumple tanto si está a la izquierda o a la derecha de la adiciónSi \(a,\, b\) y \(c\) son números reales, entonces \(a\time (b+c)=(a\time b)+(a\time c)\)
Si \(a,\, b\) y \(c\) son números reales, entonces \((b+c)\time a=(b\time a)+(c\time a)\)
En los números reales, como en los racionales, la división de dos números \(a\) y \(b\), en donde \(b\neq 0\), significa realizar el producto \(a\time \frac{1}{b}\), es decir para dividir un número real a por b basta, multiplicar el primero de los reales por el inverso multiplicativo del segundo.
La propiedad invertiva en los números reales en la adición y en la multiplicación, da lugar al opuesto y al recíproco, respectivamente, del número real.
Ejemplo:
¿Cuál es el opuesto y cuál es el reciproco de \(4+\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}-\sqrt{5}\)?
Los opuestos de \(4+\sqrt{2}\) “y” \(\sqrt{3}-\sqrt{5}\) son:
\(-(4+\sqrt{2})\) y” \(-(\sqrt{3}-\sqrt{5})\), respectivamente.
Al eliminar el paréntesis obtenemos: \(-4-\sqrt{2}\) “y” \(-\sqrt{3}+\sqrt{5}\)Al multiplicar \((-1)\) y \((4+\sqrt{2})\) obtenemos el opuesto de\((4+\sqrt{2})\, :\, (-1)(4+\sqrt{2})=[(-1)\time 4]+[(-1)\time \sqrt{2}]=-4+(-\sqrt{2})=-4-\sqrt{2}\).El recíproco es el inverso multiplicativo, es decir, dos números son recíprocos cuando multiplicados dan la unidad (neutro del producto).
Los recíprocos son: \(\frac{1}{4+\sqrt{2}}\) “y” \(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}\), respectivamente.
Ya que \(4+\sqrt{2}\time \frac{1}{4+\sqrt{2}}=1\) “y” \(\sqrt{3}-\sqrt{5}\time \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=1\)
PREGUNTA: Hallar el recíproco de \(-(-\frac{3}{5})\)