7° MATEMÁTICAS

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

La Sustracción es un caso particular de suma, puesto que restar dos números racionales significa sumar uno al opuesto del otro; si consideramos las fracciones \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{b}\)

\(\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a}{b}+(-\frac{c}{b})=\frac{a+(-c)}{b}=\frac{a-c}{b}\)

Teniendo en cuenta que si \(c\) es mayor que \(a\), la fracción resultante será negativa.

Para adicionar o sustraer racionales expresados en forma de fracción, deben tenerse en cuenta dos casos, según que las fracciones tengan igual o distinto denominador.

1) Para sumar o restar fracciones de igual denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene inalterado el denominador; para las fracciones: \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{b},\,\frac{d}{b}\)

\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}=\frac{a+c+d}{b}\)

EJEMPLO 1:

\(\frac{5}{36}+\frac{8}{36}+\frac{6}{36}=\frac{5+8+6}{36}=\frac{19}{36}\)

2) Para sumar fracciones que tienen distinto denominador, se efectua el siguiente proceso:

se define a la suma \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\)

EJEMPLO 2:

para sumar o restar varias fracciones se procede de la siguiente manera:

Se tiene:

\(\frac{2}{25}+\frac{5}{15}+\frac{3}{30}=\)

Se busca el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores de las fracciones.

\(25=5^2\,\,\,\,\, 15=3*5\,\,\,\,\, 30=2*3*5\)

El m.c.m se saca multiplicando de los factores en común el de mayor exponente y de los factores no comunes, todos:

m.c.m (25, 15, 30) = \(5^2*2*3=150\)

Una vez encontrado el m.c.m, el mismo pasa a ser DENOMINADOR COMÚN entre las fracciones a sumar y sus numeradores respectivos se obtienen dividiendo el denominador común por el denominador que se tenía antes y multiplicando este resultado por el denominador.

Entonces quedaría así las fracciones:

\(\frac{2}{25}+\frac{5}{15}+\frac{3}{30}=\frac{12+50+15}{150}=\frac{77}{150}\)

NOTA:

Para sacar el denominador común entre dos o más denominadores sin buscar el m.c.m entre los mismos se opera de la siguiente manera:

1) Si el número más grande de los denominadores es Múltiplo común de todos los denominadores, entonces ése es el denominador común.

EJEMPLO 3:

\(\frac{2}{3}+\frac{5}{9}+\frac{18}{27}=\frac{18+15+18}{27}=\frac{51}{27}=\frac{17}{9}\)

2) Si el número más grande NO ES MÚLTIPLO de todos los denominadores, se multiplica éste con los denominadores que no sean divisores del mismo.

EJEMPLO 4:

\(\frac{4}{3}+\frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\frac{72+9+12}{54}=\frac{93}{54}=\frac{31}{18}\)

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

Es conmutativa, esto es: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}\)

EJEMPLO 5:

\(\frac{5}{2}+\frac{9}{2}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7\)

\(\frac{9}{2}+\frac{5}{2}=\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}=7\)

Es asociativa, esto es: \(\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})\)

\(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{2}{5}=\)

\((\frac{3}{2}+\frac{2}{3})+\frac{2}{5}=(\frac{13}{6})+\frac{2}{5}=\frac{77}{30}\)

\(\frac{3}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{2}{5})=\frac{3}{2}+(\frac{16}{15})=\frac{77}{30}\)

Neutro aditivo, esto es: Para cualquier racional \(\frac{a}{b}\) se cumple que \(\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}\) entonces \(\frac{0}{1}\) es el neutro aditivo.

EJEMPLO 6:

\(\frac{9}{5}+\frac{0}{1}=\frac{9}{5}\)

Inverso aditivo, esto es: Cada número racional \(\frac{a}{b}\) tiene un inverso aditivo \(\frac{-a}{b}\) tal que \(\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0\)

EJEMPLO 7:

\(\frac{15}{2}+(-\frac{15}{2})=0\)

PREGUNTA: \(\frac{6}{2}+\frac{5}{3}=?\)