ECUACIONES
En mátematicas es frecuente encontrar expresiones como:
\(18 + 2 = 15 + 5\); \(x + 8 = -7\); \(2 * x = -9\). Esta clase de expresiones recibe el nombre de igualdad.
Toda igualdad consta de dos miembros:
\(\underbrace{18+2}_{miembro\atop izquierdo}=\underbrace{15+5}_{miembro\atop derecho}\)
Veamos lo que sucede con una igualdad cuando adicionamos o sustraemos el mismo número racional en ambos miembros de ella.
\(24 = 24\)
\(13 = 13\)
Si en ambos miembros de una igualdad adicionamos, sustraemos o multiplicamos por el mismo número, la igualdad se conserva. Lo mismo sucede si dividimos ambos miembros por un mismo número diferente de cero.
Esta propiedad que se aplica a las igualdades recibe el nombre de propiedad uniforme de la adición, sustracción, multiplicación y división.
Si en una igualdad se encuentra un término desconocido, la igualdad se llama ecuación.
Son ejemplos de ecuaciones:
a + 3 = -17
5x + 9 = 10
Plantear ecuaciones es una estrategia que se usa para la solución de problemas.
Ejemplo:
Solucionemos la ecuación \(a + 3 = -17\)
Apliquemos la propiedad uniforme sumando el opuesto de \(3\)
a + 3 + (-3) = -17 + (-3)
Asociamos: a + [3 + (-3)] = -17 + (-3)
Utilicemos la propiedad del opuesto aditivo:
a + 0 = -17 + (-3)
Continuamos con la propiedad modulativa de la adición:
a = -17 + (-3)
Por último hallemos la suma:
\(a = -20\)
Comprobemos que ese valor de a hace verdadera la ecuación:
- 20 + 3 = - 17
Una de las utilidades de plantear ecuaciones es la de saber cuál es la fracción que genera un decimal periódico. Para saberlo, seguimos el proceso que se ilustra a continuación con el siguiente ejemplo:
Encontrar la fracción que genera la expresión decimal \(0.\overline8\)
Llamamos x a la expresión \(0.\overline8\)
x = \(0.\overline 8\) (1)
Multiplicamos la expresión por \(10\)
10 * x = \(0.\overline 8\) * 10
10 * x = \(8.\overline 8\) (2)
Sustraemos de la igualdad (2) la igualdad (1).
\(10*x=8.\overline8\atop\Large-\textrm\Large{x=0.\overline 8}\over\Large9*x=8\)
Despejando el valor de a obtenemos:
\(x=\frac{8}{9}\)
La fracción que genera una expresión decimal periódica se llama fracción generatriz.
En el anterior ejemplo, la fracción generatriz de \(0.\overline 8\) es \(\frac{8}{9}\).
PREGUNTA: Resuelvo la ecuación: \(a+(-8)=23\)