La ecuación canónica de una hipérbola con eje focal sobre una paralela al eje \(x\) y su centro en un punto (h,k) es
\(\Large\bf\frac{ (x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1\)
Ahora consideremos la hipérbola con el centro en el punto (h,k) con el eje focal paralelo al eje x.
Los elementos de la hipérbola son:
Centro: C: (h,k), Foco \(F_2: (h-c,k)\) y Foco \(F_1: (h+c,k)\)
Punto de la hipérbola: P: (x,y)
vértices del eje mayor: \(V_2: (h-a,k)\) y \(V_1: (h+a,k)\)
vértices del eje menor: \(V_4: (h,k-b)\) y \(V_3: (h,k+b)\)
Por definición de lugar geométrico de una hipérbola tenemos que:
\(d=(\overline{F_1P})- d(\overline{F_2P})=2a\). Es decir:
\(\sqrt{(x-h+c)^2+(y-k)^2}-\sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2}=2a\)
Luego de trasponer el segundo radical a la derecha, elevar ambos miembros al cuadrado, reducir términos semejantes, nuevamente elevar al cuadrado, simplificar términos para así factorizar, obtenemos:
\((c^2-a^2)(x-h)^2 - a^2(y-k)^2 =a^2(c^2-a^2)\)
Teniendo en cuenta que \(c^2-a^2=b^2\) y dividiendo por \(a^2b^2\) resulta la ecuación:
\(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1\)
Con un desarrollo similar podemos obtener la ecuación de una hipérbola cuyo centro es el punto (h,k) con el eje focal paralelo al eje y.
De esa forma, obtendremos la ecuación:
\(\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} =1\)
Las rectas \(y-k= \pm \frac{b}{a}(x-h)\) son las asintotas de la hipérbola y constituyen una guía para su grafica.
PREGUNTA: Dada la ecuación \(\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9}=1\), la ecuación de las asintotas es: