La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x y centro (0,0) es \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y y centro (0,0) es \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
Para obtener la expresión analítica de una elipse, la ubicamos sobre los ejes coordenados. El eje mayor lo haremos coincidir con el eje x y el eje menor coincidir con el eje y.
Por la definición de elipse sabemos que para cualquier punto P de la elipse se cumple \(\overline{PF_1}+ \overline{PF_2}\) es siempre constante.
En particular para el vértice \(V_3\), por semejanza de triángulos tenemos que \(\overline{V_3 F_1} = \overline{V_3 F_2} = a\) (a es la distancia del vértice menor al foco).
Por tanto \(\overline{V_3 F_1} + \overline{V_3 F_2} =2a \) y en general:
\(\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a\) para cualquier punto P de la elipse.
De este modo: \(\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} =2a\).
La expresamos de la forma: \(\sqrt{(x-c)^2+y^2} =2a - \sqrt{(x+c)^2+y^2}\).
Elevamos al cuadrado y se obtiene:
\(x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2 +x^2 -2cx+c^2+y^2- 4 a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}\)
Esto es
\(a^2 -cx = a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}\)
\(a^4 - 2acx +c^2x^2= a^2x^2 - 2a^2cx+ a^2c^2+a^2y^2\)
Es decir \(a^2(a^2-c^2)= (a^2 -c^2) x^2 + a^2y^2\)
Teniendo en cuenta que \(a^2-c^2=b^2\), dividimos por \(a^2b^2\) y resulta \(1= \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}\)
De la ecuación canónica se puede concluir:
Ejemplo:
Hallar los focos y la ecuación canónica de una elipse con vértices \(V_1: (3,0), V_2: (-3,0), V_3: (0,7), V_4: (0,-7)\)
Solución:
Vemos que el semieje menor está situado sobre el eje x y en consecuencia la ecuación será de la forma \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
Además, los focos están sobre el eje \(y\) y están dados por
\(a^2-c^2=b^2\Leftrightarrow 49-c^2=9\)
\(c=\pm\sqrt{40}=\pm 2\sqrt{10}\)
Luego: la ecuación pedida es \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{49}=1\)
y los focos son \((0,\pm 2\sqrt{10})\)
Ejemplo 2:
Encontrar la ecuación canónica de una elipse con focos \(F_1: ( 4,0),\, F_2: ( -4,0)\) si los vértices determinados por el eje menor son \(V_1: ( 0,\sqrt{7})\, y\, V_2: ( 0,-\sqrt{7})\)
Sabemos que si los focos están sirtuados sobre el eje x, la ecuación canónica es de la forma \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\). tenemos que ubicar \(a\) para completar la ecuación: \(a^2-c^2=b^2\)
\(a^2=7+16=23\) por tanto \(a=\pm\sqrt{23}\) es decir, los vértices son \(V_1: (\sqrt{23}, 0)\, y\, V_2: (-\sqrt{23}, 0)\)
Luego: la ecuación canónica es \(\frac{x^2}{23}+\frac{y^2}{7}=1\)
Ejemplo 3:
Determinar la ecuación canónica y los focos de una elipse con centro en (0,0), si uno de los vértices del eje mayor es \(V_1: ( 0,1)\) y un vértice sobre el eje menor es \(V_3: (\frac{1}{2}, 0)\).
Como a = 1 y \(b=\frac{1}{2}\), entonces:
Determinemos los focos, hallando c: \(1-\frac{1}{4}=c^2\Leftrightarrow c=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Luego: los focos son \(F_1: ( 0,\frac{\sqrt{3}}{2})\, y\, F_2: ( 0,-\frac{\sqrt{3}}{2})\)
Como a = 1 y \(b=\frac{1}{2}\), entonces , \(a^2=1\, y\, b^2=\frac{1}{4}\)
Luego: Le ecuación canónica es \(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\) o lo que es lo mismo \(4x^2+y^2=1\)
PREGUNTA: Dada la ecuación reducida de la elipse \( \frac {x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}=1\), hallar las coordenadas de los vértices de los focos.