La ecuación canónica de una elipse con centro en un punto (h,k) y el eje mayor paralelo al eje x es \(\frac{ (x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} =1\)
Consideremos la elipse con el centro en el punto (h,k) y eje mayor paralelo al eje x.
Por la definición de elipse tenemos que:
\(d(\overline{F_1P})+ d(\overline{F_2P})=2a\). Es decir:
\(\sqrt{(x-h+c)^2+(y-k)^2}+\sqrt{(x-h+c)^2+(y-k)^2}=2a\)
\((x-h+c))^2+(y-k)^2=4a^2- 4a \sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2} + (x-h-c)^2+(y-k)^2 \)
\((x-h+c)^2 - (x-h-c)^2 - 4a^2= -4a \sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2}\)
\((x-h+c-x+h+c) (x-h+c-x-h-c) - 4a^2= -4a \sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2}\)
\((c(x-h)-2a^2)^2=4a^2 ((x-h-c)^2 + (y-k)^2)\)
que se reduce en: \((a^2-c^2)(x-h)^2 + a^2(y-k)^2 =a^2(a^2-c^2)\)
Teniendo en cuenta que \(a^2-c^2=b^2\) y dividiendo por \(a^2b^2\) obtenemos la ecuación canónica. Análogamente,
La ecuación de una elipse con centro en un punto (h,k) y el eje mayor paralelo al eje y es: \(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} =1\)
De la misma manera que para las elipses con centro (0,0), la ecuación canónica nos permite hallar las longitudes del semieje mayor a y del semieje menor b.
Ejemplo:
Dada la ecuación \(\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{9}\), encontrar:
a) Coordenadas del centro
b) Coordenadas de los vértices
Solución:
a) De la ecuación podemos concluir que h=1 y k=-3
Luego: el centro de la elipse es C: ( 1,-3)
b) Como 9 > 4, concluimos que \(a^2=9\, y\, b^2=4\), ya que a representa el semieje mayor y \(b\) el semieje menor.
Por tanto, \(a=3\, y\, b=2\). Es decir, la distancia del centro a los vértices mayores es 3 y la distancia del centro a los vértices menores es 2
Luego:
PREGUNTA: Hallar la ecuación de la elipse de \( F(7, 2) \), de vértice \(A(9,2)\) y de centro \(C(4,2)\).