DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN UN LUGAR GEOMÉTRICO
La ecuación de un lugar geométrico se formula cuando se da el grupo de condiciones que lo conforma: requerimientos de distancia, interceptas, simetrías, dominios y rango.En algunos casos, se puede dar la ecuación de un lugar geométrico con solo uno de los elementos anteriores, como veremos en las siguientes unidades.
Recordemos el BINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Ejemplo práctico:
Hallar la ecuación del lugar del lugar geométrico de los punto (x,y) si la condición para este lugar geométrico es que la distancia de un punto fijo que lo conforma al punto fijo (0,0) sea igual a 5.
Solución:
Aplicamos la fórmula de distancia a los puntos dados, así:
\((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=d^2\)
El punto \((x_1,y_1)\), es igual a \((0,0)\)
Reemplazamos en la ecuación, obtenemos:
\((x-0)^2+(y-0)^2=5^2\)
= \(x^2+y^2=25\)
Luego: la ecuación del lugar geométrico cuya distancia de un punto fijo que lo conforma y el origen (0,0) es 5 es x2 + y2 - 25 = 0
Puede profundizar la lección con el siguiente vídeo:
PREGUNTA: Hallar la ecuación del lugar geométrico de los punto (x,y) cuya distancia al punto fijo (3,4) sea igual a 10.
Para solucionar este ejercicio recuerda que un binomio cuadrado perfecto
\((x\pm x_1)^2\) = \(x^2\pm 2x_1x+(x_1)^2\) y
\((y\pm y_1)^2\) = \(y^2\pm 2y_1y+(y_1)^2\)